Question

 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4，AC=AD时，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）直接根据圆周角定理求解；
（2）根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，则∠BAC=30°，易得∠BAE=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AE是⊙O的切线；
（3）先在Rt△ABC中，利用含30度的直角三角形三碧娜的关系得到AC=

3

BC=4

3

，再△ACD为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．

解答：（1）解：∵∠ABC和∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵∠EAC=60°，
∴∠BAC+∠EAC=90°，即∠BAE=90°，
∴BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，
∴AC=

3

BC=4

3

，
∵AC=AD，∠D=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴CD=AC=4

3

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的判定与性质．