Question

已知点O为线段AB的中点，P为线段AB外一点，过P作直线l，分别过A、B作直线l的垂线段AM、BN；
（1）当点O在直线l上时，求证：OM=ON；
（2）直角三角形斜边上的中线有下列性质：斜边上的中线等于斜边的一半．
请你利用这一性质回答问题：当点O不在直线l上时，OM=ON吗？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）证出△AMO≌△BNO，据此即可解答；
（2）作AC∥l，延长BN交AC于C，连接OC；作BD∥l，延长AM交BD于D，连接OD．证出△MAO≌△NCO即可解答．

解答：解：（1）在Rt△AMO和Rt△BNO中，

∠AMO=∠BNO ∠MOA=∠NOB AO=BO

，
∴△AMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON．
（2）OM=ON．
作AC∥l，延长BN交AC于C，连接OC；作BD∥l，延长AM交BD于D，连接OD．
可知，∠ACB=90°，AM=CN．
∵O为AB的中点，
∴CO=AO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAM=∠OCN，
在△MAO和△NCO中，

MA=NC ∠OAM=∠OCN AO=CO

，
∴△MAO≌△NCO（ASA），
∴OM=ON．

点评：本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，正确作出辅助线，构造所需图形是解题的关键．