Question

如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连CF，交AB于点G、交AD于点M，连DG．
（1）求证：AD⊥CF；
（2）求证：∠ADC=∠BDG；
（3）连AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得∠CAB=45°，再由BF∥AC得∠CBF=∠ACB=90°，则∠ABF=∠CBA=45°，即BE平分∠DBF，于是可判断AB垂直平分DF，接着利用“SAS”证明△ACD≌△CBF，则∠2=∠1，易得∠2+∠3=90°，从而可判断AD⊥CF；
（2）先根据“SAS”判断△BDG≌△BFG得到∠BDG=∠BFG，加上△ACD≌△CBF得∠ADC=∠CFB，所以∠ADC=∠BDG；
（3）由于AB垂直平分DF，则AF=AD，再由△ACD≌△CBF得AD=CF，所以AF=CF，于是可判断△ACF为等腰三角形．

解答：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°
∴∠CAB=45°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=∠ACB=90°，
∴∠ABF=∠CBA=45°，即BE平分∠DBF，
而DE⊥AB，
∴AB垂直平分DF，
∴BD=BF，
∵D点为BC的中点，
∴DC=DB，
∴CD=BF，
在△ACD和△CBF中，

AC=CB ∠ACD=∠CBF CD=BF

，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠2=∠1，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AD⊥CF；
（2）证明：在△BGD和△BFG中，

BD=BF ∠DBG=∠FBG BG=BG

，
∴△BDG≌△BFG（SAS），
∴∠BDG=∠BFG，
∵△ACD≌△CBF，
∴∠ADC=∠CFB，
∴∠ADC=∠BDG；
（3）解：△ACF为等腰三角形．理由如下：
∵AB垂直平分DF，
∴AF=AD，
∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
∴AF=CF，
∴△ACF为等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰直角三角形的性质和等腰三角形的判定．