Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E．
（1）如图1，若点D在斜边BC上，DM垂直平分BE，垂足为M，求证：BD=AE；
（2）如图2，过点B作BF⊥CE，交CE的延长线于点F，若BF=2，求△BEC的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连接DE，由∠BAC=90°，AB=AC，可得∠B=45°，由DM垂直平分BE，可得BD=DE，进而判断△BDE是等腰直角三角形，所以ED⊥BD，然后由角平分线的性质可得ED=AE，根据等量代换可得BD=AE；
（2）延长BF，CA，交与点G，由CE平分∠ACB，可得∠ACE=∠BCE，由BF⊥CE，可得∠BFC=∠GFC=90°，然后由三角形内角和定理可得：∠GBC=∠G，进而可得BC=GC，然后由等腰三角形的三线合一，可得BF=FG=

1

2

BG，所以BG=2BF=2FG=4，然后再由ASA，可证△ACE≌△ABG，可得EC=BG=4，最后根据三角形的面积公式即可求△BEC的面积．

解答：解：（1）连接ED，如图1，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵DM垂直平分BE，
∴BD=DE，
∴∠BED=∠EBD=45°，
∴∠EDC=∠EBD+∠BED=90°，
∵CE平分∠ACB，∠BAC=90°，∠EDC=90°，
∴ED=EA，
∴BD=AE；
（2）延长BF，CA，交与点G，如图2所示，

∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=∠GFC=90°，
∴∠GBC=∠G，
∴BC=GC，
∴BF=FG=

1

2

BG，
即BG=2BF=4，
∵∠GFC=∠GAB=90°，
∴∠ACF+∠BGC=90°，∠ABG+∠BGC=90°，
∴∠ACF=∠ABG，
在△ACE和△ABG中，

∠ACE=∠ABG AC=AB ∠EAC=∠GAB

，
∴△ACE≌△ABG（SAS），
∴BG=CE，
∴EC=2BF=4，
∴S_△ECB=

1

2

CE•BF=

1

2

×4×2=4．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出命题中隐含的等量关系，是证明全等三角形的关键．