Question

探究题：如图：
（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；
（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条
件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，
求证：∠BQP=60°；
（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由△ABC为等边三角形，可得∠C=∠ABP=60°，AB=BC，又由这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，可得BP=CD，即可利用SAS，判定△ABP≌△BCD，继而证得结论；
（2）同理可证得△ABP≌△BCD（SAS），则可得∠APB=∠BDC，然后由∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，求得∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；
（3）首先过点D作DG∥AB交BC于点G，则可证得△DCG为等边三角形，继而证得△DGE≌△PBE（AAS），则可证得结论．

解答：解：（1）成立．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
根据题意得：CD=BP，
在△ABP和△BCD中，

AB=BC ∠ABP=∠C BP=CD

，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴AP=BD；

（2）根据题意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，

AB=BC ∠ABP=∠BCD BP=CD

，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；

（2）DE=PE．
理由：过点D作DG∥AB交BC于点G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，
∴△DCG为等边三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，

∠DEG=∠PEB ∠GDE=∠BPE DG=PB

，
∴△DGE≌△PBE（AAS），
∴DE=PE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．