Question

如图，已知PC是∠APB的平分线，点O是PB边上的一点，以O为圆心，OP长为半径画圆，⊙O分别交PA、PB、PC于A、B、C三点，过点C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若AD=1，AP=7，求线段CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）如图1，连接OC，由OC=OP得∠1=∠3，而∠1=∠2，则∠2=∠3，根据平行线的判定得OC∥PD，由于CD⊥PA，所以，CD⊥OC，于是根据切线的判定定理可判断直线CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，OA，如图，先证明∠ACD=∠1，则可判断△ACD∽△CPD，然后利用相似比可计算出CD的长．

解答：（1）证明：如图1，连接OC，
∵OC=OP，
∴∠1=∠3，
∵PC是∠APB的平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OC∥PD，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，OA，如图，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵CD⊥OC，
∴∠ACD+∠OCA=90°，
在△OAC中，∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，
又∵∠AOC=2∠1，
∴2∠1+2∠OCA=180°，
∴∠1+∠OCA=90°，
∴∠ACD=∠1，
又∵∠ADC=∠CDP=90°，
∴△ACD∽△CPD，
∴

CD

PD

=

AD

CD

，
∴CD²=AD•PD=AD（AD+AP）=1×（1+7）=8，
∴CD=2

2

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．