Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，过点A、D两点作⊙O．使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E，若BD为⊙O的切线，tan∠CBD=

3

4

，求tan∠ABD的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结OD，如图，在Rt△BCD中利用正切的定义得到tan∠CBD=

CD

BC

=

3

4

，则可设CD=3x，BC=4x，根据勾股定理得BD=5x，再根据切线的性质得∠ODB=90°，接着证明Rt△CBD∽△CAB，利用相似比可表示出AC=

16

3

x，则在Rt△ACB中利用勾股定理可得到AB=

20

3

x，设⊙O的半径为r，则OD=OA=r，OB=AB-OA=

20

3

x-r，然后在Rt△OBD中根据勾股定理得r²+（5x）²=（

20

3

x-r）²，解得r=

35

24

x，最后利用正切的定义求解．

解答：解：连结OD，如图，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=

CD

BC

=

3

4

，
设CD=3x，则BC=4x，
∴BD=

CD2+BC2

=5x，
∵BD为⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
而∠1+∠CBD=90°，
∴∠2=∠CBD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠2，
∴∠A=∠CBD，
∴Rt△CBD∽△CAB，
∴

BC

AC

=

CD

BC

，即

4x

AC

=

3x

4x

，解得AC=

16

3

x，
在Rt△ACB中，∵BC=4x，AC=

16

3

x，
∴AB=

BC2+AC2

=

20

3

x，
设⊙O的半径为r，则OD=OA=r，OB=AB-OA=

20

3

x-r，
在Rt△OBD中，∵OD²+BD²=OB²，
∴r²+（5x）²=（

20

3

x-r）²，解得r=

35

24

x，
∴tan∠OBD=

OD

BD

=

35 24 x

5x

=

7

24

，
即tan∠ABD的值为

7

24

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．