Question

已知AB是⊙O的直径 点C是OA的中点 CD⊥OA交圆O于点D，连接OD．
（1）如图①，求∠AOD的度数；
（2）如图②，PD切⊙O于点D，交BA的延长线于点P，过点A作AE∥PD交⊙O于点E，若⊙O的直径为10，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）根据CO与DO的数量关系，即可得出∠CDO的度数，进而求出∠AOD的度数；
（2）根据圆心角和圆周角的关系得出∠E=30°，根据切线的性质求得PD⊥OD，然后根据AE∥PD，求得AE⊥OD，进而求得∠EAB=30°，从而求得∠P=∠EAB=∠E=30°，四边形AEPD是平行四边形，根据平行四边形的性质求得DE=PA，根据30°角的直角三角形的性质从而求得PA=OA=5，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，
∴2CO=DO，∠DCO=90°，
∴∠CDO=30°，
∴∠AOD=60°；

（2）∵∠AOD=60°，
∴∠E=30°
∵PD切⊙O于点D，
∴PD⊥OD，
∵AE∥PD，
∴AE⊥OD，
∵∠AOD=60°，
∴∠EAB=30°，
∴∠P=∠EAB=∠E=30°，
∴PA∥DE，
∴四边形AEPD是平行四边形，
∴DE=PA，
∵PO=2OD=2OA，
∴PA=OA=5，
∴DE=5．

点评：本题考查了切线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．