Question

如图，D是等边三角形ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠DPB=∠DBC．求证：∠BPD=30°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：如图，连接CD，已知△ABC是等边三角形，则AB=AC=BC，又AD=BD，易证△BDC≌△ADC，可得∠DCB=∠DCA=30°，∠DBC=∠DAC，已知∠DBP=∠DBC，所以∠DAC=∠DBP，又已知BP=BA，可得BP=AC，所以△DBP≌△DAC，所以∠BPD=∠ACD=30°．

解答：解：如图，连接CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
在△BDC与△ADC中，

BC=AC AD=BD DC=DC

，
∴△BDC≌△ADC（SSS），
∴∠DCB=∠DCA=

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×60°=30°，∠DBC=∠DAC，
∵∠DBP=∠DBC，
∴∠DAC=∠DBP，
又已知BP=BA，
∴BP=AC，
在△DBP与△DAC中，

DB=DA ∠DBP=∠DAC BP=AC

，
∴△DBP≌△DAC（SAS），
∴∠BPD=∠ACD=30°．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．