Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．
（1）求证：AD=AE；
（2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据∠BAC=90°，EA⊥AD，可得∠BAD=∠CAE，然后根据AB=AC，∠ACE=∠ABD，可证明△ABD≌△ACE，继而可得出AD=AE；
（2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC，易证△ADF≌△MCF，可得出AD=AE=CM，易证∠BAE=∠ACM，从而证得△ABE≌△CAM，通过∠ABG=∠CAF，得到∠AGE=90°．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，EA⊥AD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

∠BAD=∠CAE AB=AC ∠ABD=∠ACE

，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD=AE；

（2）延长AF至M，使FM=AF，连接MC，
在△ADF与△MCF中，

DF=CF ∠DAF=∠CFM AF=FM

，
∴△ADF≌△MCF（SAS），
∴AD=CM，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴AD=AE=CM，
∴∠BAM=∠CAM，
在△ABE和△CAM中，

AB=AC ∠BAM=∠ACM AE=CM

，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴∠ABG=∠CAF，
∵∠CAF+∠BAG=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠AGB=∠AGE=90°．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键．