Question

已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题．
（1）将三角板的直角顶点P在射线OC上移动，两直角边分别与OA，OB交于M，N，如图①，求证：PM=PN；
（2）将三角板的直角顶点P在射线OC上移动，一条直角边与OB交于N，另一条直角边与射线OA的反向延长线交于点M，并猜想此时①中的结论PM=PN是否成立，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过P作PE⊥OA，PF⊥OB，由OC为∠AOB的平分线，利用角平分线定理得到PE=PF，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△PME与△PNF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）过P作PE⊥OA，PF⊥OB，由OC为∠AOB的平分线，利用角平分线定理得到PE=PF，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△PME与△PNF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

解答：解：（1）过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，∠PEM=∠PFN=90°，
∵∠MPE+∠MPF=90°，∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
在△PME和△PNF中，

∠PEM=∠PFN PE=PF ∠MPE=∠NPF

，
∴△PME≌△PNF（ASA），
∴PM=PN．
（2）过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，∠PEM=∠PFN=90°，
∵∠MPE+∠MPF=90°，∠NPF+∠MPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
在△PME和△PNF中，

∠PEM=∠PFN PE=PF ∠MPE=∠NPF

，
∴△PME≌△PNF（ASA），
∴PM=PN．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．