Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：
①abc＜0；②a-b+c＞0；③b²＞4ac；④3a-2b+c＜0，则正确的结论是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1得b=-2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）与（-1，0）之间，则当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，于是可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对③进行判断；利用b=-2a得3a-2b+c=7a+c，而a-b+c＜0，即3a+c＜0，则3a-2b+c=3a+c+4a＜0，于是可对④进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（3，0）之间，而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）与（-1，0）之间，
∴当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以②错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，即b²＞4ac，所以③正确
∵b=-2a，
∴3a-2b+c=3a+4a+c=7a+c，
∵a-b+c＜0，即3a+c＜0，
∴3a-2b+c=7a+c=3a+c+4a＜0，所以④正确．
故选B．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．