Question

如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P
在弧AD上运动时，r的值满足（　　）

• A、0＜r＜3
• B、r=3
• C、3＜r＜3

  2

• D、r=3

  2

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-

1

2

（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3

2

．

解答：解：如图，连OI，PI，DI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-

1

2

（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OD，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°-

1

2

（∠HOP+∠OPH）=180°-

1

2

（180°-90°）=135°，
在△OPI和△ODI中，

IO=IO ∠POI=∠DPI OD=OP

，
∴△OPI≌△ODI（SAS），
∴∠DIO=∠PIO=135°，
所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，
在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，
∵∠DIO=135°，
∴∠DP′O=180°-135°=45°，
∴∠DO′O=90°，而OD=6，
∴OO′=DO′=3

2

，
∴r的值为3

2

．
故选：D．

点评：本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．