Question

【题目】如图，在中，，以为直径作圆，分别交于点，交的延长线于点，过点作于点，连接交线段于点．

（1）求证：是圆的切线；

（2）若为的中点，求的值；

（3）若，求圆的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；
（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：，则，求出r的值即可．

证明：(1)连接 如图1所示

是等腰三角形

又在中

由①②得：

是圆的切线

(2)如图2，在圆中，

，

∴由(1)可知：，

是等腰三角形，

， 且点是中点，

设，，则，

连接， 则在圆中，， ，

，

是的中点，

是的中位线，

，

，

在和中，

，，

，

，

(3)如图2，设的半径为，即，

，

，

，

，

则，

，

，

，

在中，，

，

，是等腰三角形，

，

，

在和中，

,

，

解得: ， (舍)

综上所述, 的半径为.