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【题目】如图1,在ABC中,∠BAC=90°AB=AC,在ABC内部作CED,使∠CED=90°EBC上,DAC上,分别以ABAD为邻边作平行四边形ABFD,连接AFAEEF

1)证明:AE=EF

2)判断线段AFAE的数量关系,并证明你的结论;

3)在图(1)的基础上,将CED绕点C逆时针旋转,请判断(2)问中的结论是否成立?若成立,结合图(2)写出证明过程;若不成立,请说明理由

【答案】1)证明见解析;(2AF=AE.证明见解析;(3AF=AE成立.证明见解析.

【解析】

1)根据ABC是等腰直角三角形,CDE是等腰直角三角形,四边形ABFD是平行四边形,判定ACE≌△FDESAS),进而得出AE=EF

2)根据∠DFE+EAF+AFD=90°,即可得出AEF是直角三角形,再根据AE=FE,得到AEF是等腰直角三角形,进而得到AF=AE

3)延长FDACK,先证明EDF≌△ECASAS),再证明AEF是等腰直角三角形即可得出结论.

1)如图1

∵△ABC中,∠BAC=90°AB=AC

∴△ABC是等腰直角三角形,

∵∠CED=90°EBC上,DAC上,

∴△CDE是等腰直角三角形,

CE=CD

∵四边形ABFD是平行四边形,

DF=AB=AC

∵平行四边形ABFD中,ABDF

∴∠CDF=CAB=90°

∵∠C=CDE=45°

∴∠FDE=45°=C

ACEFDE中,

∴△ACE≌△FDESAS),

AE=EF

2AF=AE

证明:如图1,∵ABDF,∠BAD=90°

∴∠ADF=90°

RtADF中,∠DAE+EAF+AFD=90°

∵△ACE≌△FDE

∴∠DAE=DFE

∴∠DFE+EAF+AFD=90°

AEF是直角三角形,

又∵AE=FE

∴△AEF是等腰直角三角形,

AF=AE

3AF=AE仍成立.

证明:如图2,延长FDACK

∵∠EDF=180°-KDC-EDC=135°-KDC

ACE=90°-KDC+DCE=135°-KDC

∴∠EDF=ACE

DF=ABAB=AC

DF=AC

EDFECA中,

∴△EDF≌△ECASAS),

EF=EA,∠FED=AEC

∴∠FEA=DEC=90°

∴△AEF是等腰直角三角形,

AF=AE

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1.5

2

3.5

4

付款金额()

7.5

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