【题目】如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在△ABC内部作△CED,使∠CED=90°,E在BC上,D在AC上,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF、AE、EF.
(1)证明:AE=EF;
(2)判断线段AF,AE的数量关系,并证明你的结论;
(3)在图(1)的基础上,将△CED绕点C逆时针旋转,请判断(2)问中的结论是否成立?若成立,结合图(2)写出证明过程;若不成立,请说明理由
【答案】(1)证明见解析;(2)AF=AE.证明见解析;(3)AF=AE成立.证明见解析.
【解析】
(1)根据△ABC是等腰直角三角形,△CDE是等腰直角三角形,四边形ABFD是平行四边形,判定△ACE≌△FDE(SAS),进而得出AE=EF;
(2)根据∠DFE+∠EAF+∠AFD=90°,即可得出△AEF是直角三角形,再根据AE=FE,得到△AEF是等腰直角三角形,进而得到AF=AE;
(3)延长FD交AC于K,先证明△EDF≌△ECA(SAS),再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论.
(1)如图1,
∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∵∠CED=90°,E在BC上,D在AC上,
∴△CDE是等腰直角三角形,
∴CE=CD,
∵四边形ABFD是平行四边形,
∴DF=AB=AC,
∵平行四边形ABFD中,AB∥DF,
∴∠CDF=∠CAB=90°,
∵∠C=∠CDE=45°,
∴∠FDE=45°=∠C,
在△ACE和△FDE中,
,
∴△ACE≌△FDE(SAS),
∴AE=EF;
(2)AF=AE.
证明:如图1,∵AB∥DF,∠BAD=90°,
∴∠ADF=90°,
∴Rt△ADF中,∠DAE+∠EAF+∠AFD=90°,
∵△ACE≌△FDE,
∴∠DAE=∠DFE,
∴∠DFE+∠EAF+∠AFD=90°,
即△AEF是直角三角形,
又∵AE=FE,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE;
(3)AF=AE仍成立.
证明:如图2,延长FD交AC于K.
∵∠EDF=180°-∠KDC-∠EDC=135°-∠KDC,
∠ACE=(90°-∠KDC)+∠DCE=135°-∠KDC,
∴∠EDF=∠ACE,
∵DF=AB,AB=AC,
∴DF=AC,
在△EDF和△ECA中,
,
∴△EDF≌△ECA(SAS),
∴EF=EA,∠FED=∠AEC,
∴∠FEA=∠DEC=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE.
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【题目】如图,每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成,照此规律,第n个图案中白色正方形比黑色正方形多________个.(用含n的代数式表示)
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【题目】如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC= ,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为_________.
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【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,点E在边AD上(不与点A、D重合),∠CEB=45°,EB与对角线AC相交于点F,设DE=x.
(1)用含x的代数式表示线段CF的长;
(2)如果把△CAE的周长记作C△CAE,△BAF的周长记作C△BAF,设=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)当∠ABE的正切值是时,求AB的长.
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【题目】按要求完成下列视图问题:
(1)如图(1),它是由6个同样大小的正方体摆成的几何体,将正方体①移走后,新几何体从三个方向看到的图形与原几何体从三个方向看到的图形相比,从 方向看到的形状图没有发生改变?
(2)如图(2),请你在右侧虚线网格图a中画出该几何体从上面看到的形状图
(3)如图(3),它是由几个小立方块组成从上面看到的形状图,小正方形上的数字表示该位置上的正方体的个数,请你在右侧建线网格图b中面出该几何体从正面看到的形状图.
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【题目】如图,圆的半径为个单位长度.数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度,在圆的4等分点处分别标上点A,B,C,D.先让圆周上的点A与数轴上表示-1的点重合.
(1)圆的周长为多少?
(2)若该圆在数轴上向右滚动2周后,则与点A重合的点表示的数为多少?
(3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上,(如数轴上表示-2的点与点B重合,数轴上表示-3的点与点C重合…),那么数轴上表示-2018的点与圆周上哪个点重合?
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【题目】某商品的定价是每千克5元,元旦期间,该商品推出优惠活动,若一次购买该商品的数量超过2千克,则超过2千克的部分,价格打8折;若一次购买的数量不超过2千克(含2千克),仍按原价付款
(1)根据题意,填写下表
购买的数量(千克) | 1.5 | 2 | 3.5 | 4 | … |
付款金额(元) | 7.5 | 16 | … |
(2)若一次购买的数量为千克,请你写出付款金额(元)与(千克)之间的关系式
(3)若某顾客一次购买该商品花费了68元,求该顾客购买商品的数量
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【题目】如图,两个边长分别为a,b(a>b)的正方形连在一起,三点C,B,F在同一直线上,反比例函数y=在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E.若OB2﹣BE2=10,则k的值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 4
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°,点M、N分别在AB、AD边上,若AM:MB=AN:ND=1:2,则tan∠MCN=
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