[题目]将抛物线向左平移2个单位.再向上平移4个单位得到一个新的抛物线．(1)求新的抛物线的解析式．(2)过作直线.使得直线与新的抛物线仅有一个公共点.求直线的解析式及相应公共点的坐标．(3)请猜想在新的抛物线上是否有且仅有四个点...使得...分别与(2)中的所有公共点所围成的图形的面积均为S?若有.请求出S并直接写出...的坐标.若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到一个新的抛物线．

（1）求新的抛物线的解析式．

（2）过作直线，使得直线与新的抛物线仅有一个公共点，求直线的解析式及相应公共点的坐标．

（3）请猜想在新的抛物线上是否有且仅有四个点、、、使得、、、分别与（2）中的所有公共点所围成的图形的面积均为S？若有，请求出S并直接写出、、、的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）l的解析式为：y=x+2；y=3x-6，x=2；直线y=-x+2与抛物线有唯一公共点A（-2,4）直线y=3x-6与抛物线有唯一公共点B（6,12）直线x=2 与抛物线有唯一公共点C(2，4) ；（3）S=18,P1为（0,3），P2为（4,7），P3为（,），P4为（,）.

【解析】

（1）根据二次函数平移的特点即可求解；

（2）设直线l的解析式为：y=kx+b,把M代入，再与二次函数联立，根据一元二次方程根的判别式即可求解；

（3）由AB、BC、AC将抛物线分为三个部分，对于任意S在AB上方的抛物线上必存在两个P点，①当P在AC下方的抛物线上时，求出此时=2，,②当P在BC下方的抛物线上时，设P为，D为（t，2t），得到，利用求出S的最大值也为2，故当P点在直线AB上方时，与A,C围成的面积也为2，故可得到P到AC的距离为1，根据直线AB的解析式特点可知将

直线AB向上平移个单位即可满足要求，得到平移后的解析式，再联立抛物线即可出P3,P4的坐标.

解：（1）∵

∴把函数向左平移2个单位，向上平移4个单位后抛物线的顶点为（0,3），

∴新的抛物线的解析式为，

（2）解：设直线l的解析式为：y=kx+b,将M（2,0）代入得

∴

∴直线l为

又直线与新的抛物线仅有一个公共点，

∴只有一个解，

化简得

∴

解得：，

当时，直线l为

由解得

∴A（-2，4）

当时，直线l为

由解得

∴B（6，12）

过点M（2,0）作直线l⊥x轴，交抛物线于C点，则直线l为x=2,

公共点C为（2,4），

综上所述：直线y=-x+2与抛物线有唯一公共点A（-2,4）

直线y=3x-6与抛物线有唯一公共点B（6,12）

直线x=2 与抛物线有唯一公共点C(2，4)

（3）在新的抛物线上有且仅有四个点P1、P2、P3、P4使其分别与（2）中的所有公共点A、B、C所围成的四边形面积均为S.

∵AB、BC、AC将抛物线分为三个部分，对于任意S在AB上方的抛物线上必存在两个P点.

①当P在AC下方的抛物线上时

∵AC∥x轴，

∴当P为（0,3），

②当P在BC下方的抛物线上时

设P为由待定系数法得BC:y=2x

作PD//y轴交BC于D，则D为（t，2t）

∴

∵它是一个开口向下，顶点为（4，2）的抛物线

∴当P为（4，7）时，

∴

此时

∵A（-2,4），B（6,12）

∴求得AB解析式为，

∵A、B两点的横坐标之差的绝对值为8，A、C两点的横坐标之差的绝对值为4，P到AC的距离为1.

∴将直线AB向上平移个单位得

l交抛物线于和两点

由，解得，

综上，S=18,P1为（0,3），P2为（4,7），P3为（,），P4为（,）.

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∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵∠EAF=45°

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=45°．

即∠GAF=∠_________．

又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌_______．

∴_________=EF，故DE+BF=EF．

⑵方法迁移：

如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

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如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）

．

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