[题目]“三等分角是数学史上一个著名的问题.但仅用尺规不可能“三等分角．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角的方法:将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中.边OB在x轴上.边OA与函数的图象交于点P.以P为圆心.以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线.两直线相交于点M.连接OM得到∠MOB.则∠MOB=∠AOB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：

（1）设P（，）、R（，），求直线OM对应的函数表达式（用含，的代数式表示）；

（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB；

（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）

【答案】（1）. y=x；（2）.证明见解析；（3）.见解析.

【解析】

（1）根据点P、点R的坐标得出点M的坐标，设出直线OM的解析式，将点M的坐标代入直线解析式求出未知参数即可；（2）不难证明四边形PQRM为矩形，根据矩形的性质可得出∠PSQ=2∠PMS，PR=2PS，由已知条件PR=2PO可得PS=PO，即∠PSO=∠POS，所以∠POS=2∠PMS，由PM∥x轴可得∠PMS=∠MOB，所以∠POS=2∠MOB，即可证明∠MOB=∠AOB；（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，将利用上述结论将锐角三等分即可；方法二：钝角减去一个直角得一个锐角，利用上述结论将锐角三等分后，再将直角三等分即可.

（1）设直线OM的解析式为y=kx，

∵P（a，），R（b，），

∴M（b，），

∴k=，

∴y=x；

（2）证明：由题意得Q（a，），

当x=a时，y=，

∴点Q在直线OM上，

由题意可得∠PMB=∠MRQ=∠RQP=90°，

∴四边形PQRM是矩形，

∴PR=2PS，SP=SM，

∴∠SPM=∠SMP，

∴∠PSO=2∠SMP，

∵PM∥x轴，

∴∠SMP=∠MOB，

∴∠PSO=2∠MOB，

∵PR=2PO，

∴PS=PO，

∴∠PSO=∠POS，

∴∠POS=2∠MOB，

∴∠MOB=∠AOB；

（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，将利用上述结论将锐角三等分即可；

方法二：钝角减去一个直角得一个锐角，利用上述结论将锐角三等分后，再将直角三等分即可.

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