Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE＝CA，连接AE．F为AB上的一点，且BF＝DE，连接FC．

（1）若DE＝1，CF＝，求CD的长；

（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG＝60°，求证：AF+CE＝AC．

Answer 1

【答案】（1）CD＝3；（2）见解析.

【解析】

（1）根据矩形的性质先由勾股定理求得BC的值再通过AC2＝AD2+CD2即可求得CD的长；

（2）如图2中，连接CG．作FJ⊥AC于J．通过证明∠BAC=30°，∠ACF=45°即可解决问题.

（1）设CD＝x．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝∠B＝90°，AD＝BC，

在Rt△BCF中，BC＝，

∵AC＝CE＝x+1，

在Rt△ADC中，∵AC2＝AD2+CD2，

∴，

∴x＝3，

∴CD＝3；

（2）如图2中，连接CG．作FJ⊥AC于J．

∵CA＝CE，AG＝EG，

∴CG⊥AE，∠ACG＝∠ECG，

∵∠AGC＝∠ABC＝90°，

∴∠AGC+∠ABC＝180°，

∴A、G、C、B四点共圆，

∴∠ABG＝∠ACG，

∴∠ACG＝∠ECG＝∠ABG，设∠ACG＝∠ECG＝∠ABG＝x，则∠BAH＝∠ACD＝2x，∠BHC＝∠BAH+∠ABG＝3x，

∵∠BHC+∠ABG＝60°，

∴4x＝60°，

∴x＝15°，

∴∠FAJ＝30°，∠DAC＝∠ACB＝60°，∠CAE＝75°，

∴∠EAD＝15°，

∵DE＝BF，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，

∴，

∴∠BCF＝∠DAE＝15°，

∴∠FCJ＝45°，

∴CJ＝FJ，设CJ＝FJ＝a，则AJ＝，AF＝2a，AC＝，

∴，

∴AF＝，

∴AF＝，∵AC＝CE，

∴．