Question

【题目】已知：如图（1），在△ABC中，AB＝BC＝2CD，∠ABC＝∠DCB＝120°，AC交BD于点E．

（1）如图1：作BM⊥CA于M，求证：△DCE≌△BME；

（2）如图2：点F为BC中点，连接AF交BD于点G，当AB＝a时，求线段FG的长度（用含a的代数式表示）；

（3）如图3：在（2）的条件下，将△ABG沿AG翻折得到△AKG，延长AK交BD于点H，若BH＝5，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）a；（3）

【解析】

（1）首先证明BC＝2BM，可得CD＝BM，根据AAS即可证明△DCE≌△BME；

（2）如图2中，作FN⊥AB交AB的延长线于N．解直角三角形求出AF，再利用相似三角形的性质求出FG；

（3）如图3中，作FN⊥AB交AB的延长线于N，BM⊥AC于M．设AB＝a．解直角三角形求出GH，BG（用a表示），构建方程求出a即可解决问题．

解：（1）证明：如图1中，

∵BC＝BA，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠BCA＝30°，

∵BM⊥AC，

∴∠BMC＝90°，

∴BM＝BC，

∵BC＝2CD，BC＝2BM，

∴CD＝BM，

∵∠BCD＝120°，

∴∠ECD＝∠EMB＝90°，

∵∠DEC＝∠BEM，

∴△DCE≌△BME（AAS）．

（2）解：如图2中，作FN⊥AB交AB的延长线于N．

∵CF＝BF，AB＝BC＝2CD，

∴CD＝BF，

∵∠DCB＝∠FBA＝120°，CB＝BA，

∴△DCB≌△FBA（SAS），

∴∠DBC＝∠BAF，

∵∠BFG＝∠BFA，

∴△FBG∽△FAB，

∴＝，

在Rt△BFN中，∵BF＝a，∠FBN＝60°，∠N＝90°，

∴BN＝a，FN＝a，

∴AF＝＝＝a，

∴FG＝＝＝a．

（3）解：如图3中，作FN⊥AB交AB的延长线于N，BM⊥AC于M．设AB＝a．

由（2）可知：FG＝a，

∴AG＝AF﹣FG＝a，

∵△FBG∽△FAB，

∴＝

BG＝＝a，

∵△AKG和△ABG关于直线AG对称，

∴∠GAH＝∠BAF，

∴∠DBC＝∠GAH，

又∵∠BGF＝∠AGH，

∴△BGF∽△AGH，

∴＝，

∴GH＝＝a，

∵BH＝BG+GH＝a＝5，

∴a＝14，

∴BC＝AB＝14，

∵BM⊥AC，

∴∠CMB＝90°，

∴CM＝BCcos30°＝7，

∵△DEC≌△BEM，

∴EC＝EM＝CM＝．