【题目】如图, 已知抛物线的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧)与y轴交于C点 .
(1)求抛物线的解析式和A、B两点的坐标;
(2)若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),则是否存在一点P,使△PBC的面积最大.若存在,请求出△PBC的最大面积;若不存在,试说明理由;
(3)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,求M点的坐标 .
【答案】(1),点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0);(2)存在点P,使△PBC的面积最大,最大面积是16,理由见解析;(3)点M的坐标为(4-2,)、(2,6)、(6,4)或(4+2,-).
【解析】
(1) 由抛物线的对称轴为直线x=3,利用二次函数的性质即可求出a值, 进而可得出抛物线的解析式, 再利用二次函数图象上点的坐标特征, 即可求出点A、B的坐标;
(2) 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标, 由点B、C的坐标, 利用待定系数法即可求出直线BC的解析式, 假设存在, 设点P的坐标为(x,),过点P作PD//y轴, 交直线BC于点D,则点D的坐标为(x,),PD=- x2+2x,利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC的面积关于x的函数关系式, 再利用二次函数的性质即可解决最值问题;
(3) 设点M的坐标为(m,),则点N的坐标为(m,),进而可得出MN,结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程, 解之即可得出结论 .
(1)抛物线的对称轴是直线,
,解得:,
抛物线的解析式为.
当时,,
解得:,,
点的坐标为,点的坐标为.
(2) 当时,,
点的坐标为.
设直线的解析式为.
将、代入,
,解得:,
直线的解析式为.
假设存在, 设点的坐标为,过点作轴, 交直线于点,则点的坐标为,如图所示 .
,
.
,
当时,的面积最大, 最大面积是 16 .
,
存在点,使的面积最大, 最大面积是 16 .
(3) 设点的坐标为,则点的坐标为,
.
又,
.
当时, 有,
解得:,,
点的坐标为或;
当或时, 有,
解得:,,
点的坐标为,或,.
综上所述:点的坐标为,、、或,.
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【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣3,0),B(﹣2,3),C(0,3),顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
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【题目】如图,AB,AC是⊙O的两条切线,B,C为切点,连接CO并延长交AB于点D,交⊙O于点E,连接BE,连接AO.
(1)求证:AO∥BE;
(2)若DE=2,tan∠BEO=,求DO的长.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点,且B点的横坐标为3,抛物线与y轴交于点C(0,6),A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点,P点是x轴上一动点,当PA+PB最小时,P点的坐标为_______.
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【题目】有这样一个问题:探究函数y=的图象与性质.小彤根据学习函数的经验,对函数y=的图象与性质进行了探究.
下面是小彤探究的过程,请补充完整:
(1)函数y=的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是y与x的几组对应值:
x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … |
y | … | m | 0 | ﹣1 | 3 | 2 | … |
则m的值为 ;
(3)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出了图象的一部分,请根据剩余的点补全此函数的图象;
(4)观察图象,写出该函数的一条性质 ;
(5)若函数y=的图象上有三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),且x1<3<x2<x3,则y1、y2、y3之间的大小关系为 ;
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【题目】如图,已知,梯形中,,,∥,,,点在边上,以点为圆心为半径作弧交边于点,射线与射线交于点.
(1)若,求的长;
(2)联结,若,求的长;
(3)线段上是否存在点,使得△与△相似,若相似,求的值,若不相似,请说明理由
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【题目】如图是一个可以自由转动的转盘,小明跟小红分别转动一次转盘,然后记下转盘停止时指针所指的颜色(指针压线时重转),若两次颜色相同则小明获胜,否则小红获胜,请你用树状图或列表的方法表示这个游戏所有可能出现的结果,并判断游戏是否公平.
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【题目】学校想知道九年级学生对我国倡导的“一带一路”的了解程度,随机抽取部分九年级学生进行问卷调查,问卷设有4个选项(每位被调查的学生必选且只选一项):A.非常了解.B.了解.C.知道一点.D.完全不知道.将调查的结果绘制如下两幅不完整的统计图,请根据两幅统计图中的信息,解答下列问题:
(1)求本次共调查了多少学生?
(2)补全条形统计图;
(3)该校九年级共有600名学生,请你估计“了解”的学生约有多少名?
(4)在“非常了解”的3人中,有2名女生,1名男生,老师想从这3人中任选两人做宣传员,请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率.
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