Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AD=4cm，AB=8cm，点P从点A出发沿边上向点匀速运动，同时点从点出发沿边上向点匀速运动，速度都是，运动时间是，交于点，点关于的对称点是，射线分别与，交于点，．

（1）＝　　°；QF＝　　，＝　　．（用含的代数式表示）

（2）当点与点重合时, 如图②，求的值．

（3）探究：在点，运动过程中，

①的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

②为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似？

Answer 1

【答案】（1）45，2t ，；（2）t＝2；（3）①的值是定值 ， ＝；②当t＝或时，以点P，Q，E为顶点的三角形与△PMB相似.

【解析】

（1）由题意可得∠APQ=∠AQP=45°，由轴对称的性质可得∠QPE=∠FPE=45°，即可求∠BPN，由对称性易得QF=2AP，由△BPE∽△BAD，利用对应边成比例可得PE；

（2）通过证明△DQF∽△DAB，可得，可求t的值；

（3）①过点M作MH⊥AB于点H，设MH=a，由等腰直角三角形可得PF=，由相似三角形的性质可得HB=2a，即可求解；

②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求t的值．

解：（1）如图①，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，AD=BC，∠DAB=90°
∵点P，点Q速度都是1cm/s，
∴AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP=45°
∵PE⊥AB
∴∠APE=90°
∴∠QPE=45°
∵点Q关于PE的对称点是F，
∴∠QPE=∠FPE=45°
∴∠BPN=180°-∠APQ-∠QPE-∠FPE=45°

设QF与PE交于点O，如图，

易知四边形OPAQ为正方形，

∴OQ=AP，

∵点Q关于PE的对称点是F，

∴QF=2OQ=2AP=2t，

∵PE∥AD，

∴△BPE∽△BAD

∴，即

∴PE=

故答案为：45，2t，.

（2）如图②，

∴QF∥AB

∴△DQF∽△DAB

∴

∴

∴t＝2.

（3）①的值是定值，

如图③，过点M作MH⊥AB于点H，设MH＝a，

∴PM＝a

∵MH∥AD

∴△BMH∽△BDA

∴

∴

∴BH＝2a，

∴BP＝PH+BH＝3a，

∴＝

②∵AP＝t＝AQ，AB＝8

∴PB＝8﹣t，PQ＝t，

∵PE∥AD

∴△BPE∽△BAD

∴＝

由①可知：PH＝MH＝，＝

∴PM＝PB＝（8﹣t）

∵以点P，Q，E为顶点的三角形与△PMB相似，且∠QPE＝∠MPB＝45°

∴或

若时，且＝

∴

∴PM＝2PQ

∴（8﹣t）＝2t

∴t＝

若时，

∴PQPM＝PBPE，且＝

∴t×（8﹣t）＝（8﹣t）×（8﹣t）

∴t＝

综上所述：当t＝或时，以点P，Q，E为顶点的三角形与△PMB相似.