Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，点E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向转转90°得到点F，连接AF、DF，则的最小值是__．

Answer 1

【答案】5

【解析】

连接AE，CF，易证△ADE≌△CDF，所以CF=AE，可知F点在以C为圆心，2为半径的圆上运动，作出运动轨迹，在CD上截取CM=CF=1，利用相似可得FM=DF，当A、F、M三点共线时，AM的长度即为的最小值.

如图，连接AE，CF，

∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF

在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS）

∴CF=AE，

∴F点在以C为圆心，2为半径的圆上运动，

如图所示，以C为圆心，2为半径作圆C，

在CD上截取CM=CF=1，

∵，，

∴

又∵∠FCM=∠DCF

∴△CMF∽△CFD

∴，即

∴

当A、F、M三点共线时，AM的长度即为的最小值，

在Rt△ADM中，AD=4，DM=CD-CM=3，

∴

故答案为：5.