Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小，请求出点P的坐标；

（3）设二次函数的图象与x轴的另一交点为点C，连接BC，点N是线段BC上一点，过点N作y轴的平行线交抛物线于点M，求当四边形OBMN为平行四边形时，点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（2，-3）；（3）N或．

【解析】

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；

（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP＋BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标；

（3）根据OBMN为平行四边形，得到OB=NM=5且OB∥NM,设点N坐标为（x,x-5），则M点坐标为（x,）得到NM=（x-5）-(),令NM=5即可解出x,即可求解.

（1）根据题意，得，

解得，

∴二次函数的表达式为y＝x24x5；

（2）令y＝0，得二次函数y＝x24x5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0）；

由于P是对称轴x＝2上一点，

连接AB，由于AB＝，

要使△ABP的周长最小，只要PA＋PB最小；

由于点A与点C关于对称轴x＝2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA＋PB＝BP＋PC＝BC，根据两点之间，线段最短，可得PA＋PB的最小值为BC；

因而BC与对称轴x＝2的交点P就是所求的点；

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

根据题意可得

解得

所以直线BC的解析式为y＝x5；

因此直线BC与对称轴x＝2的交点坐标是方程组的解，

解得，

所求的点P的坐标为（2，3）；

（3）∵OBMN为平行四边形，

∴OB=NM=5且OB∥NM,

设点N坐标为（x,x-5），则M点坐标为（x,）

∴NM=（x-5）-(),

令NM=5即（x-5）-()=5，

解得x1=，x2=

故点N的坐标为或．