【题目】如图1,在四边形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC.
(1)求证:AD=DC;
(2)如图2,在上述条件下,若∠A=∠ABC=60°,过点D作DE⊥AB,过点C作CF⊥BD,垂足分别为E、F,连接EF.判断△DEF的形状并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析;(2)等边三角形,证明见解析
【解析】
试题分析:(1)利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB=∠CBD进而得出AD=DC,
(2)利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点,再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案.
(1)证明:∵DC‖AB,
∴∠CDB=∠ABD,
又∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD,
∴∠CDB=∠CBD,
∴BC=DC,
又∵AD=BC,
∴AD=DC;
(2)△DEF为等边三角形,
证明:∵BC=DC(已证),CF⊥BD,
∴点F是BD的中点,
∵∠DEB=90°,∴EF=DF=BF.
∵∠ABC=60°,BD平分∠ABC,∠BDE=60°,
∴△DEF为等边三角形.
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【题目】将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置.
(1)如果A′落在四边形BCDE的内部(如图1),∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系?并说明理由.
(2)如果A′落在四边形BCDE的BE边上,这时图1中的∠1变为0°角,则∠A′与∠2之间的关系是 .
(3)如果A′落在四边形BCDE的外部(如图2),这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系?并说明理由.
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【题目】到一个三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
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【题目】已知一元二次方程x2+3x+m﹣1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程有两个相等的实数根,其此时方程的根.
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【题目】如图,填空
①如果∠1=∠2,那么根据 ,可得 ∥ ;
②如果∠DAB+∠ABC=180°,那么根据 ,可得 ∥ .
③当 ∥ 时,根据 ,得∠3=∠C.
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