Question

如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，P是BC中点，
（1）求证：DP=EP；  
（2）求∠DPE的度数．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）分别取AB、AC的中点，连接PM、DM，PN、EN，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM=

1

2

AC，PN=

1

2

AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=

1

2

AB，NE=

1

2

AC，从而得到DM=PN，MP=NE，再求出∠PMD=∠PNE，然后利用“边角边”证明△PDM和△EPN全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）设∠PDM=x，∠DPM=y，然后表示出∠ADP和∠AEP，再根据四边形的内角和等于360°列式整理，然后求解即可．

解答：（1）证明：如图，取AB、AC的中点，连接PM、DM，PN、EN，
∵P是BC中点，
∴PM、PN都是△ABC的中位线，
∴PM∥AC，PN∥AB，PM=

1

2

AC，PN=

1

2

AB，
∵△ABD和△ACE都是直角三角形，
∴DM=

1

2

AB，NE=

1

2

AC，
∴DM=PN，MP=NE，
∵∠PMD=∠BMD+∠BMP=2∠BAD+∠BAC=2（90°-α）+∠BAC，
∠PNE=∠CNE+∠CNP=2∠CAE+∠BAC=2（90°-α）+∠BAC，
∴∠PMD=∠PNE，
在△PDM和△EPN中，

DM=PN ∠PMD=∠PNE MP=NE

，
∴△PDM≌△EPN（SAS），
∴DP=EP；

（2）解：设∠PDM=x，∠DPM=y，
∵∠ABD=∠ACE=α，
∴∠ADM=∠BAD=∠AEN=∠CAE=90°-α，
∴∠ADP=x+90°-α，∠AEP=y+90°-α，
∵PM∥AC，PN∥AB，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴∠MPN=∠BAC，
在四边形ADPE中，（x+90°-α）+（x+∠MPN+y）+（y+90°-α）+2（90°-α）+∠BAC=360°，
解得x+y+∠BAC=2α，
∴∠DPE=y+∠BAC+x=2α．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，难点在于（2）利用四边形内角和定理列出方程．