Question

已知抛物线y=ax²+bx+c，顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N（0，-3）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作⊙M，与抛物线的对称轴交于点E，依次连结A，D，B，E，点Q为线段AB上一动点，过点Q作QF⊥AE，QG⊥DB，请判断

QF

BE

+

QG

AD

是否为定值；
（3）请求出抛物线在（2）的条件下与⊙M的所有交点．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-1）²-4，然后N（0，-3）代入计算出a的值即可；
（2）根据圆周角定理得到∠AEB=90°，∠ADB=90°，再证明△AQF∽△ABE，△BQG∽△BAD，利用相似比得到

QF

BE

=

AQ

AB

，

QG

AD

=

BQ

BA

，所以

QF

BE

+

QG

AD

=

AQ

AB

+

BQ

BA

=1，
（3）先确定点A（-1，0），B（3，0），M（1，0），则AB=4，MD=2，利用抛物线上点的坐标特征，设抛物线y=x²-2x-3与⊙M的交点坐标为（x，x²-2x-3），根据两点间的距离公式得到（x-1）²+（x²-2x-3）²=2²，整理得x⁴-4x³-x²+10x+6=0，由于抛物线y=x²-2x-3与⊙M的交点有A（-1，0），B（3，0），则可判断x₁=-1，x₂=3是x⁴-4x³-x²+10x+6=0的解，于是方程x⁴-4x³-x²+10x+6=0一定可化为（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0，然后把方程（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0的左边展开，利用恒等变形得到m-2=-4，-3n=6，解得m=-2，n=-2，所以（x+1）（x-3）（x²-2x-2）=0，再解方程得x₁=-1，x₂=3，x₃=1+

3

，x₄=1-

3

，分别计算出当x=1+

3

和x=1-

3

时的函数值，从而确定抛物线与⊙M的所有交点坐标．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²-4，
把N（0，-3）代入得a（0-1）²-4=3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x-1）²-4=x²-2x-3；

（2）

QF

BE

+

QG

AD

为定值．理由如下：
∵AB为⊙M的直径，
∴∠AEB=90°，∠ADB=90°，
∵QF⊥AE，QG⊥DB，
∴QF∥BE，QG∥AD，
∴△AQF∽△ABE，△BQG∽△BAD，
∴

QF

BE

=

AQ

AB

，

QG

AD

=

BQ

BA

，
∴

QF

BE

+

QG

AD

=

AQ

AB

+

BQ

BA

=

AQ+BQ

AB

=1，
即

QF

BE

+

QG

AD

的值为定值；

（3）∵当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3+1=4，
∴MD=2，
∵ME为抛物线的对称轴，
∴M点的坐标为（1，0），
设抛物线y=x²-2x-3与⊙M的交点坐标为（x，x²-2x-3），
而此交点到M点的距离为2，
∴（x-1）²+（x²-2x-3）²=2²，
整理得x⁴-4x³-x²+10x+6=0，
∵抛物线y=x²-2x-3与⊙M的交点有A（-1，0），B（3，0），
即x₁=-1，x₂=3是x⁴-4x³-x²+10x+6=0的解，
∴方程x⁴-4x³-x²+10x+6=0可化为（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0，
把方程（x+1）（x-3）（x²+mx+n）=0整理为x⁴+（m-2）x³+（n-2m-3）x²+（-2n-3m）x-3n=0，
∴m-2=-4，-3n=6，
∴m=-2，n=-2，
∴（x+1）（x-3）（x²-2x-2）=0，
∴x+1=0或x-3=0或x²-2x-2=0，解得x₁=-1，x₂=3，x₃=1+

3

，x₄=1-

3

，
当x=1+

3

时，y=（x-1）²-4=-1；当x=1-

3

时，y=（x-1）²-4=-1，
∴抛物线在（2）的条件下与⊙M的所有交点坐标为（-1，0），（3，0），（1+

3

，-1），（1-

3

，-1）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质和二次函数的性质；了解二从函数图象上点的坐标特征；会运用因式分解法解方程和两点间的距离计算线段的长．