Question

如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD的长为

 

．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质

专题：

分析：根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠ADB，从而得到∠ABD=∠ADB，根据等角对等边可得AB=AD，再求出∠BDC=90°，∠CBD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC=2CD，然后根据梯形的周长列出方程求解即可．

解答：解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠ADB=

1

2

×（180°-120°）=30°，
在等腰梯形ABCD中，∠ADC=∠A=120°，
∴∠BDC=120°-30°=90°，
又∵∠CBD=∠ADB=30°，
∴BC=2CD，
∴梯形的周长=AB+BC+CD+AD=AD+2AD+AD+AD=5AD，
∵梯形的周长为10，
∴5AD=10，
解得AD=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，平行线的性质，等角对等边，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出梯形的各边与AD的关系是解题的关键．