Question

【题目】如图,在半⊙中,是直径,点是⊙上一点,点是的中点,于点，过点的切线交的延长线于点,连接,分别交于点,连接,关于下列结论:①;②;③点是的外心;④,其中结论正确的是____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

逐一进行判断，在半⊙中,是直径,得出∠ACB=90°，OA=OC=OD=OB, ∠CAO=∠ACO，∠OCB=∠CBO，∠DOA=∠ADO，∠AOC=∠COD=∠BOD，再由垂径定理判定OC⊥AD，又由对顶角相等，得出DQ∥AC，进而得出OD⊥BC，得出，①正确；又因为，即∠DAB+∠APE=90°∠APE和∠GPD是对顶角，得出∠GDA=∠GPD，进而得出，②结论正确；在RtAPE中，OC⊥AD，∠APE和∠CPQ是对顶角，可知∠PAE=∠OCE，∠PAC=∠ACP，进而得出AP=CP，又根据∠BCO+∠CQA=∠CBO+∠BCE=90°，∠BCO=∠CBO，得出∠CQA=∠BCE，得出PC=PQ，判定AP=PQ=CP，从而得出点是的外心，③结论正确；由∠BCE=∠CAB，∠PAC=∠ABC，判定Rt△ACQ和Rt△ABC相似，根据其性质，即可得出，④结论正确.

解：连接OC、OD，如图所示，

∵在半⊙中,是直径,点是⊙上一点,点是的中点,

∴∠ACB=90°，OA=OC=OD=OB,

∴∠CAO=∠ACO，∠OCB=∠CBO，∠DOA=∠ADO，∠AOC=∠COD=∠BOD

∵在半⊙中,AD和BC为弦，

∴OC⊥AD，

又∵∠CAQ+∠CQA=∠ADO+∠DQB，

∠CQA=∠DQB（对顶角相等）

∴∠CAD=∠ADO

∴DQ∥AC，

∴OD⊥BC

∴∠ABC=∠ADO=∠DAB，①结论正确；

又∵，即∠DAB+∠APE=90°

∠APE和∠GPD是对顶角

∴∠GDA=∠GPD

∴，②结论正确；

在RtAPE中，OC⊥AD，∠APE和∠CPQ是对顶角，

∴∠PAE=∠OCE

∴∠PAC=∠ACP

∴AP=CP

又∵∠BCO+∠CQA=∠CBO+∠BCE=90°

∠BCO=∠CBO

∴∠CQA=∠BCE

∴PC=PQ

∴AP=PQ=CP

∴点是的外心，③结论正确；

又∵∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAB=∠CAQ+∠CQA

∠PAC=∠ACP

∴∠BCE=∠CAB，∠PAC=∠ABC

∴Rt△ACQ∽Rt△ACB

∴

即，④结论正确.

故答案是①②③④.