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【题目】如图,∠AOB=90°,点P为∠AOB内部一点,作射线OP,点M在射线OB上,且OM=,点M′与点M关于射线OP对称,且直线MM′与射线OA交于点N.当△ONM'为等腰三角形时,ON的长为______

【答案】31

【解析】

如图分两种情况,Ⅰ.M'在∠AOB内部,Ⅱ.M'在∠AOB外部,由已知和等腰三角形性质、利用三角函数列方程,解直角三角形即可解答.

解:M'位置有两种情况,

Ⅰ.M'在∠AOB内部,如图1

∵点M′与点M关于射线OP对称,△ONM'为等腰三角形,

MN=OM′=OM=MH=MH

∵∵∠AOB=90°,cosOMN=

解得MH=

MN=2

RtMON中,ON===3

Ⅱ.M'在∠AOB外部,如图2,过N点作QNOM′,

∵△ONM'为等腰三角形,即MN=ON

MQ=MO

OM=,点M′与点M关于射线OP对称,

MQ=OM=OM′,

∴∠OMM=OMM′,cosOMM=cosOMM′=

ON=MN=xNH=MH=y

解得:x=1y=

综上所述:当△ONM'为等腰三角形时,ON的长为31

故答案为31

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