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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦ACBD交于点E,且ACBD,连接ADBC

1)求证:ADB≌△BCA

2)若ODACAB4,求弦AC的长;

3)在(2)的条件下,延长AB至点P,使BP2,连接PC.求证:PC是⊙O的切线.

【答案】1)详见解析;(2;(3)详见解析.

【解析】

(1)可证∠ACB=∠ADB=90°,则由HL定理可证明结论;
(2)可证AD=BC=DC,则∠AOD=∠ABC=60°,由直角三角形的性质可求出AC的长;
(3)可得出BC=BP=2,∠BCP=30°,连接OC,可证出∠OCP=90°,则结论得证.

(1)证明:∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=∠ADB=90°,

∵AB=AB,

∴△ADB≌△BCA(HL);

(2)解:如图,连接DC,

∵OD⊥AC,

∴AD=DC,

∵△ADB≌△BCA,

∴AD=BC,

∴AD=DC=BC,

∴∠AOD=∠ABC=60°,

∵AB=4,

(3)证明:如图,连接OC,

由(1)和(2)可知BC=

∵BP=2

∴BC=BP=2

∴∠BCP=∠P,

∵∠ABC=60°,

∴∠BCP=30°,

∵OC=OB,∠ABC=60°,

∴△OBC是等边三角形,

∴∠OCB=60°,

∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=60°+30°=90°,

∴OC⊥PC,

∴PC是⊙O的切线.

练习册系列答案
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地铁站

A

B

C

D

E

x/km

7

9

11

12

13

y1/min

16

20

24

26

28

(1)关于的函数解析式;

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(2)该商店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍.设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元.

①求y关于n的函数关系式;

②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大?

(3)实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m(30<m<100)元,且限定商店最多购进B型手机80台.若商店保持两种手机的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案.

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(特例探究)

1)如图1,当时,___________

如图2,当时,___________

(归纳证明)

2)请你观察(1)中的计算结果,猜想三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论;

(拓展证明)

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①求的值;(用含有mn的式子表示)

②若=,直接写出的值.

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