【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦AC与BD交于点E,且AC=BD,连接AD,BC.
(1)求证:△ADB≌△BCA;
(2)若OD⊥AC,AB=4,求弦AC的长;
(3)在(2)的条件下,延长AB至点P,使BP=2,连接PC.求证:PC是⊙O的切线.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)详见解析.
【解析】
(1)可证∠ACB=∠ADB=90°,则由HL定理可证明结论;
(2)可证AD=BC=DC,则∠AOD=∠ABC=60°,由直角三角形的性质可求出AC的长;
(3)可得出BC=BP=2,∠BCP=30°,连接OC,可证出∠OCP=90°,则结论得证.
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵AB=AB,
∴△ADB≌△BCA(HL);
(2)解:如图,连接DC,
∵OD⊥AC,
∴,
∴AD=DC,
∵△ADB≌△BCA,
∴AD=BC,
∴AD=DC=BC,
∴∠AOD=∠ABC=60°,
∵AB=4,
∴;
(3)证明:如图,连接OC,
由(1)和(2)可知BC=
∵BP=2
∴BC=BP=2
∴∠BCP=∠P,
∵∠ABC=60°,
∴∠BCP=30°,
∵OC=OB,∠ABC=60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠OCB=60°,
∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=60°+30°=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切线.
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【题目】随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择.李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位:km),乘坐地铁的时间(单位:min)是关于的一次函数,其关系如下表:
地铁站 | A | B | C | D | E |
x/km | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 |
y1/min | 16 | 20 | 24 | 26 | 28 |
(1)求关于的函数解析式;
(2)李华骑单车的时间(单位:min)也受的影响,其关系可以用=2-11+78来描述.求李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,并求出最时间.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=2,CD是△ABC的一条高线.若E,F分别是CD和BC上的动点,则BE+EF的最小值是_____.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=65°,BC=6,以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E,则图中由O、D、E三点所围成的扇形面积等于_____.(结果保留π)
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【题目】某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元.
(1)求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元?
(2)该商店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍.设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元.
①求y关于n的函数关系式;
②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m(30<m<100)元,且限定商店最多购进B型手机80台.若商店保持两种手机的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案.
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【题目】某校组织数学兴趣探究活动,爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现,两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1、图2、图3中,、是的中线,于点,像这样的三角形均称为“中垂三角形”.
(特例探究)
(1)如图1,当,时,_____,______;
如图2,当,时,_____,______;
(归纳证明)
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想、、三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论;
(拓展证明)
(3)如图4,在中,,,、、分别是边、的中点,连结并延长至,使得,连结,当于点时,求的长.
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【题目】如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,1),B(1,4),C(3,2).请解答下列问题:
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;
(2)以原点O为位似中心,位似比为1:2,在y轴的右侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出C2点的坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段BC上,请直接写出经过(2)的变化后对应点D2的坐标.
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【题目】如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边AB、BC上,AD=BE,CD与AE交于F.
(1)求∠AFD的度数;
(2)若BE=m,CE=n.
①求的值;(用含有m和n的式子表示)
②若=,直接写出的值.
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