Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．

（1）求证：△ADB≌△BCA；

（2）若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；

（3）在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）可证∠ACB=∠ADB=90°，则由HL定理可证明结论；
（2）可证AD=BC=DC，则∠AOD=∠ABC=60°，由直角三角形的性质可求出AC的长；
（3）可得出BC=BP=2，∠BCP=30°，连接OC，可证出∠OCP=90°，则结论得证．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵AB＝AB，

∴△ADB≌△BCA（HL）；

（2）解：如图，连接DC，

∵OD⊥AC，

∴，

∴AD＝DC，

∵△ADB≌△BCA，

∴AD＝BC，

∴AD＝DC＝BC，

∴∠AOD＝∠ABC＝60°，

∵AB＝4，

∴；

（3）证明：如图，连接OC，

由(1)和(2)可知BC=

∵BP＝2

∴BC＝BP＝2

∴∠BCP＝∠P，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BCP＝30°，

∵OC＝OB，∠ABC＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠OCB＝60°，

∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝60°+30°＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切线．