【题目】某校组织数学兴趣探究活动,爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现,两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1、图2、图3中,、
是
的中线,
于点
,像
这样的三角形均称为“中垂三角形”.
(特例探究)
(1)如图1,当,
时,
_____,
______;
如图2,当,
时,
_____,
______;
(归纳证明)
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想、
、
三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论;
(拓展证明)
(3)如图4,在中,
,
,
、
、
分别是边
、
的中点,连结
并延长至
,使得
,连结
,当
于点
时,求
的长.
【答案】(1),
,
,
;(2)
,证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)由三角函数的性质得到 根据三角形中位线的性质,得到EF//AB.
,由平行线分线段成比例可得
,可求得PE、PE的长,再由勾股定理得到结果;由三角函数的性质得到
根据三角形中位线的性质,得到EF//AB.
,由平行线分线段成比例可得
,可求得PE、PE的长再由勾股定理得到结果;
(2) 设,
,则
,
,利用勾股定理用x、y、z分别表示出:
、
、
,再用x、y、z分别表示出
,
,由
即可得出答案;
(3)连结,
过点
作
交
于点
,交
于点
,可得四边形
是平行四边形,可得
是中垂三角形,即可知:
,
代入(2)中结论可求得
(1)解:如图,连接EF
∵,
,
∴
∵、
是
的中线,
是交点
∴
∴
∴
∵
∴由勾股定理可得:
∴
如图连接EF
∵,
,
∴,
∵、
是
的中线,
是交点
∴
∴
∴,
∵
∴由勾股定理可得:,
∴,
故答案为:,
,
,
.
(2),理由如下:
设,
,则
,
∵
∴
∴,
∴
即
(3)连结,
过点
作
交
于点
,交
于点
,
∵,
∴
∵是
的中点
∴是
的中点
∵,
是
,
的中点
∴,
∵
∴,
∴四边形是平行四边形
∴是
的中点
∴是中垂三角形
∵,
,
∴,
有(2)中结论可知:
∴
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦AC与BD交于点E,且AC=BD,连接AD,BC.
(1)求证:△ADB≌△BCA;
(2)若OD⊥AC,AB=4,求弦AC的长;
(3)在(2)的条件下,延长AB至点P,使BP=2,连接PC.求证:PC是⊙O的切线.
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【题目】我校八年级有800名学生,在体育中考前进行一次排球模拟测试,从中随机抽取部分学生,根据其测试成绩制作了下面两个统计图,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次抽取到的学生人数为________,图2中的值为_________.
(2)本次调查获取的样本数据的平均数是__________,众数是________,中位数是_________.
(3)根据样本数据,估计我校八年级模拟体测中得12分的学生约有多少人?
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【题目】已知抛物线(b,c为常数).
(1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b,c的值;
(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围;
(3)在(1)的条件下,存在正实数m,n( m<n),当m≤x≤n时,恰好有,求m,n的值.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,下列结论:①b2﹣4ac<0;②abc>0;③a﹣b+c<0;④m>﹣2,其中,正确的个数有( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,过点C(3,4)的直线交
轴于点A,∠ABC=90°,AB=CB,曲线
过点B,将点A沿
轴正方向平移
个单位长度恰好落在该曲线上,则
的值为________.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线的最高点的纵坐标是2.
(1)求抛物线的表达式;
(2)将抛物线在之间的部分记为图象
,将图象
沿直线x=1翻折,翻折后图象记为
,图象
和
组成G,直线
:
和图象G在x轴上方的部分有两个公共点,求k的取值范围;
(3)直线:
与图象G在x轴上方的部分分别交于A、M、P、Q四点,若AM=2PQ,求
的值.
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