Question

【题目】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=BE，CD与AE交于F．

（1）求∠AFD的度数；

（2）若BE=m，CE=n．

①求的值；（用含有m和n的式子表示）

②若=，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）①；②

【解析】

（1）利用SAS证出△ABE≌△CAD，然后根据全等三角形的性质、四边形的内角和和等边三角形的性质即可求出结论；

（2）过点E作EH∥AB交CD于点H，可证△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，然后列出比例式，结合（1）中全等即可求出结论；

（3）根据（2）的结论可设，然后根据相似三角形的判定定理证出△AFD∽ABE，列出比例式即可求出a的值，然后用m和n表示出EF和DF，再结合已知条件即可求出结论．

解（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=∠BCA=∠BAC=60°

又AD=BE，

∴△ABE≌△CAD，

∴∠ADC=∠BEA

∵∠BDF＋∠ADC =180°

∴∠BDF+∠BEF=180°，

∴∠B+∠DFE=180°，

∵∠AFD+∠DFE=180°，

∴∠AFD=∠B=60°

（2）过点E作EH∥AB交CD于点H，

∴△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，

∴，

由（1）△ABE≌△CAD，

∴AD=BE=m，则BD=CE=n，

∴，，

∴

（3）∵

可设

则AE=AF＋EF=

∵∠AFD=∠B=60°，∠DAF=∠EAB

∴△AFD∽ABE

∴

即

解得：

∴，

∵=

∴

整理，得

∴或（不符合实际，舍去）