【题目】在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示.
(1)如图①,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°.求证:a2=b(b+c)
(2)如图②,在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的2倍,且c=7,b=8,求a的长.
(3)若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们则称这样的三角形为“倍角三角形”.问题(1)中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对于任意的倍角△ABC,如图③,∠A=2∠B,关系式a2=b(b+c)是否仍然成立?并证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)a=;(3)关系式a2=b(b+c)仍然成立,见解析.
【解析】
(1)先证△ACB为直角三角形,知a=c,b=c,据此可得a2=(c)2=,b(b+c)=c(c+c)=,从而得出答案;
(2)延长CA至点D,使AD=AB,连接BD,证△CBD∽△DAB得,据此可得BD=,由∠C=∠D知a=BC=BD=;
(3)延长BA至D,使AD=AC=b,连结CD,证△ADC∽△CDB得,据此可得答案.
解:(1)证明:∵∠A=2∠B=60°,
∴∠B=30°,
则∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°,
∴△ACB为直角三角形,
在Rt△ACB中a=c,b=c,
所以a2=(c)2=,b(b+c)=c(c+c)=,
所以a2=b(b+c);
(2)如图1,延长CA至点D,使AD=AB,连接BD,
则∠D=∠ABD=∠CAB=∠C,
∴△CBD∽△DAB,
∴,
∴BD2=ABCD=7×(8+7)=105,
∴BD=,
又∠C=∠D,
∴a=BC=BD=
(3)对于任意的倍角△ABC,∠A=2∠B,关系式a2=b(b+c)仍然成立,
如图2,延长BA至D,使AD=AC=b,连结CD,
则∠CAB=2∠D,
∴∠B=∠D,BC=CD=a,
∴△ADC∽△CDB
∴,
即.
所以a2=b(b+c).
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【题目】中考体育测评前,某校在初三15个班中随机抽取了4个班的学生进行了摸底测评,将各班的满分人数进行整理,绘制成如下两幅统计图.
(1)D班满分人数共 人,扇形统计图中,表示C班满分人数的扇形圆心角的度数为 .
(2)这些满分同学中有4名同学(3女1男)的跳绳动作十分标准,学校准备从这4名同学中任选2名同学作示范,请利用画树状图或列表法求选中1男1女的概率.
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【题目】春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如下收费标准:
某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
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【题目】如图,在半⊙中,是直径,点是⊙上一点,点是的中点,于点,过点的切线交的延长线于点,连接,分别交于点,连接,关于下列结论:①;②;③点是的外心;④,其中结论正确的是____.
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【题目】如果记y==f(x),并且f(1)表示当x=1时y的值.即f(1)==;f()表示当x=时y的值,f()==…,那么f(﹣1)+f(﹣2)+f(﹣)+f(﹣3)+f(﹣)+…+f(﹣2019)+f(﹣)=_____.
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【题目】某商场为了吸引顾客,举行抽奖活动,并规定:顾客每购买100元的商品,就可随机抽取一张奖劵,抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”,就可以分别获得100元、50元、20元的购物券,抽得“谢谢惠顾”不赠购物券;如果顾客不愿意抽奖,可以直接获得购物券10元.小明购买了100元的商品,他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下:
(1)求“紫气东来”奖券出现的频率;
(2)请你帮助小明判断,抽奖和直接获得购物券,哪种方式更合算?并说明理由.
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【题目】如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 米),围成一个长方形的花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式;写出自变量x的取值范围.
(2)怎样围才能使长方形花圃的面积最大?最大值为多少?
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【题目】已知抛物线(,是常数,且),经过点,,与轴交于点.
(Ⅰ)求抛物线的解析式;
(Ⅱ)若点是射线上一点,过点作轴的垂线,垂足为点,交抛物线于点,设点横坐标为,线段的长为,求出与之间的函数关系式,并写出相应的自变量的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点在线段上时,设,已知,是以为未知数的一元二次方程(为常数)的两个实数根,点在抛物线上,连接,,,且平分,求出值及点的坐标.
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【题目】为了解居民的环保意识,社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动,并用得到的数据绘制了如下条形统计图(得分为整数,满分为10分,最低分为6分).请根据图中信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次调查一共抽取了______名居民;
(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)如果对该小区的名居民全面开展这项有奖问答活动,得分者设为一等奖,请你根据调查结果,帮社区工作人员估计需准备多少份一等奖奖品.
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