Question

【题目】（如图 1，若抛物线 l1 的顶点 A 在抛物线 l2 上，抛物线 l2 的顶点 B 也在抛物线 l1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l1，l2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．

（1）如图2，抛物线 l3： 与y 轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；

（2）求以点 D 为顶点的 l3 的“友好”抛物线 l4 的表达式，并指出 l3 与 l4 中y 同时随x增大而增大的自变量的取值范围；

（3）若抛物线 y＝a1(x－m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y＝a2(x－h)2＋k， 写出 a1 与a2的关系式，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的函数表达式为，；（3），理由详见解析

【解析】

（1）设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，根据抛物线L3：得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；

（2）由（1）可知点D的坐标为（4，1），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=0．可得．

解：（1）∵抛物线l3：，
∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，
设x=0，则y=1，
∴C（0，1），
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，1）；

（2）解：设的函数表达式为

由“友好”抛物线的定义，过点

的函数表达式为

与中同时随增大而增大的自变量的取值范围是

（3）

理由如下：

∵ 抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，

①+②得：