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    【题目】探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数,每边上相邻钉子间的距离为1),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:

    当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;

    当n=3时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1, ，2, ，2五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.

    (1)观察图形,填写下表:

    钉子数(n×n)

    S值

    2×2

    2

    3×3

    2+3

    4×4

    2+3+（____）

    5×5

    （________）

    (2)写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上,不同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可).

    (3)对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.

    【答案】 4 2+3+4+5(或14)

    【解析】试题分析：（1）钉子数为2×2时，共有不同的线段2条；
    钉子数为3×3时，共有不同的线段2+3条；
    钉子数为4×4时，共有不同的线段2+3+4条；
    那么钉子数为5×5时，共有不同的线段2+3+4+5条．
    （2）钉子数为（n-1）×（n-1）时，共有不同的线段2+3+4+5+…+（n-1）条；钉子数为n×n时，共有不同的线段2+3+4+5+…+（n-1）+n条相减后发现不同长度的线段种数增加了n种．
    （3）钉子数为n×n时，共有不同的线段应从2开始加，加到n．

    试题解析：(1)4　2+3+4+5(或14)

    (2)①n×n的钉子板比(n-1)×(n-1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种或②分别用a,b表示n×n与(n-1)×(n-1)的钉子板中不同长度的线段种数,则a=b+n.

    (3)S=2+3+4+…+n=×(n-1)= .

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