Question

2．已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在D左侧），若|m-2n|+$\sqrt{m+n-18}$=0．
（1）求线段AB、CD的长；
（2）M、N分别为线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN；
（3）当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，下列两个结论：①$\frac{PA-PB}{PC}$是定值；②$\frac{PA+PB}{PC}$是定值，请选择正确的一个并加以证明．

Answer 1

分析 （1）先由|m-2n|+$\sqrt{m+n-18}$=0．根据非负数的性质求出n=6，m=12，即可得到AB=12，CD=6；
（2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD-AM-DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度；
（3）计算①或②的值是一个常数的，就是符合题意的结论．

解答 解：（1）∵|m-2n|+$\sqrt{m+n-18}$=0，
∴m-2n=0，m+n-18=0，
∴n=6，m=12，
∴AB=12，CD=6；

（2）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AB+BC）=8，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（CD+BC）=5，
∴MN=AD-AM-DN=9；
如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AB-BC）=4，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（CD-BC）=1，
∴MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9；

（3）②正确．理由如下：
∵$\frac{PA+PB}{PC}$=$\frac{（PC+AC）（PC-BC）}{PC}$=$\frac{2PC}{PC}$=2，
∴②$\frac{PA+PB}{PC}$是定值2．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．