【题目】已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,P是边AB上一动点,PE⊥CD,垂足为点E,PM⊥AB,交边CD于点M,AD=1,AB=5,CD=4.
(1)求证:∠PME=∠B;
(2)设A、P两点的距离为x,EM=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)连接PD,当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时,求AP的长.
【答案】(1)详见解析;(2)0≤x≤;(3)当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时,AP=或AP=1.
【解析】
(1)在四边形BCMP中,求出∠B+∠CMP=180°,又知∠PME+∠CMP=180°,于是证明出∠PME=∠B;
(2)作AH⊥BC于H,交PE于点F,首先证明出AF⊥PE,由于PF∥BH,列出比例等式,用x表示出PF和PE,再由△PEM∽△AHB列出y与x的关系式;
(3)分类讨论,当PM=PD和PM=DM分别根据等腰三角形的性质求出x的值,进而求出AP的值.
(1)证明:证法一:在四边形BCMP中,
∵∠B+∠C+∠CMP+∠MPB=360°,∠C=∠MPB=90°
∴∠B+∠CMP=180°.
而∠PME+∠CMP=180°,
∴∠PME=∠B.
证法二:∵DC⊥BC,PM⊥AB,且∠PME与∠B都为锐角,
∴∠PME=∠B.
(2)作AH⊥BC于H,交PE于点F.
∵PE⊥CD,BC⊥CD,
∴PE∥BC.
∴AF⊥PE.
∵AH=CD=4,AB=5,
∴BH=3.
∵AD=1,
∴EF=1.
∵PF∥BH,
∴,
∴PF=x,
∴PE=x+1.
又∵∠PME=∠B,∠PEM=∠AHB=90°,
∴△PEM∽△AHB.
∴,
即
∴y=
∵PE=x+1≤BC=4,
∴x≤,
定义域为0≤x≤.
(3)(ⅰ)当PM=PD时,DE=EM.
x=x+.
解得x=,即
(ⅱ)当PM=DM时,
(x+1)=x+x+.
解得x=1,即AP=1.
综上所述,当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时,AP=或AP=1.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线BC的解析式为y=﹣x+6.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为线段BC上方抛物线上的任意一点,连接MB,MC,点N为抛物线对称轴上任意一点,当M到直线BC的距离最大时,求点M的坐标及MN+NB的最小值;
(3)在(2)中,点M到直线BC的距离最大时,连接OM交BC于点E,将原抛物线沿射线OM平移,平移后的抛物线记为y′,当y′经过点M时,它的对称轴与x轴的交点记为H.将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1,再将△BO1E1沿着直线O1H平移,得到△B1O2E2,在平面内是否存在点F,使以点C,H,B1,F为顶点的四边形是以B1H为边的菱形.若存在,直接写出点B1的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”.例如:P(1,0)、Q(2,﹣2)都是“整点”.抛物线y=mx2﹣4mx+4m-2(m0)与x轴交于点A、B两点,若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则m的取值范围是( )
A. <m≤1B. ≤m<1C. 1<m≤2D. 1<m<2
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【题目】如图,平面直角坐标系中,已知点的坐标为.
(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线,它与轴和轴的正半轴分别交于点和点,且与关于直线对称.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹.)
(2)请求出(1)中作出的直线的函数表达式.
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【题目】如图,图①是一块边长为1,周长记为P1的等边三角形纸板,沿图①的底边剪去一块边长的 的等边三角形纸板后得到图②,然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的 )后,得图③,④,…,记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn,则Pn-Pn-1=_________
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【题目】 随着新学校建成越来越多,绝大部分孩子已能就近入学,某数学学习兴趣小组对八年级(1)班学生上学的交通方式进行问卷调查,并将调查结果画出下列两个不完整的统计图(图1、图2).请根据图中的信息完成下列问题.
(1)该班参与本次问卷调查的学生共有多少人;
(2)请补全图1中的条形统计图;
(3)在图2的扇形统计图中,“骑车”所在扇形的圆心角的度数是多少度.
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【题目】已知抛物线
对称轴为______,顶点坐标为______;
在坐标系中利用五点法画出此抛物线.
x | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ | ||
y | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
若抛物线与x轴交点为A、B,点在抛物线上,求的面积.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,G为⊙O上一点,连接AG交CD于K,在CD的延长线上取一点E,使EG=EK,EG的延长线交AB的延长线于F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)连接DG,若AC∥EF时.
①求证:△KGD∽△KEG;
②若,AK=,求BF的长.
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【题目】在ABCD中,E、F分别是AD、BC上的点,将平行四边形ABCD沿EF所在直线翻折,使点B与点D重合,且点A落在点A′处.
(1)求证:△A′ED≌△CFD;
(2)连结BE,若∠EBF=60°,EF=3,求四边形BFDE的面积.
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