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【题目】如图,P为等腰△ABC内一点,AB=BC∠BPC=108°DAC中点,BDPC相交于点E,已知P△ABE的内心.

1)求证:∠PEB=60°

2)求∠PAC的度数.

【答案】1)见解析 248°

【解析】

1)先由P△ABE的内心,∠BPC=108°易知∠BAE=36°,再由△ABC为等腰三角形,DAC中点,∠BPC=108°得到∠CBE=∠ABE=2∠PBE,且∠CBP=BCP=∠BAE=36°,即可得到∠CBE=24°,再利用∠PEB=∠BCE+∠CBE得证.

2)易知∠AED=CED=BEP=60°,从而得到∠EAD=30,利用∠PAC=∠EAD+∠PAE即可得解.

1)∵P△ABE内心,

PBPEPA分别是∠ABE∠AEB∠BAE角平分线;

即:∠PBE+∠PEB+∠PAE=90°

又∵∠BPC=108°

∠PBE+∠PEB=72°

∠PAE=18°∠BAE=36°

AB=BCDAC中点,

∠ABE=∠CBEBDAC

又∵BE=BEAB=CB

△ABE≌△CBE;即∠BCE=∠BAE=36°

又∵∠BPC=108°

∠CBP=36°

∵又∠CBE=∠ABE=2∠PBE

∠PBE=ABP=x,则∠CBE=2x, ∠CBP=∠CBE+∠PBE=36°,2x+x=36°,

x=12°,

所以∠CBE=2x=24°,所以∠PEB=∠BCE+∠CBE=36°+2×14°=60°

2)由(1)知△ABE≌△CBE

∠BEC=∠BEA

∠CED=∠AED=∠PEB=60°

∠EAD=30°

∠PAC=∠EAD+∠PAE =30°+18°=48°

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