Question

【题目】阅读材料，并完成相应任务.

2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.

下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形：

证明：①在图1中，∵

4个直角三角形的面积+两个正方形的面积

=4× + + .

②在图2中，∵

4个直角三角形的面积+正方形的面积

=4× + .

∴4× + + =4× + .

整理得：

∴ .

任务：（1）将材料中的空缺部分补充完整；

（2）如图3，在△ABC中，∠A=60°,∠ACB=75°，CD⊥AB，AC=4，求BC的长.

Answer 1

【答案】（1） ，，，；（2）BC=

【解析】

（1）根据图形的特点及完全平方公式即可验证勾股定理；

（2）根据直角三角形中的特殊角与勾股定理即可求解.

（1）①在图1中，∵

4个直角三角形的面积+两个正方形的面积

=4×++.

②在图2中，∵

4个直角三角形的面积+正方形的面积

=4×+.

∴4×++ =4×+ .

整理得：

∴ .

故填：，，，

（2）∵CD⊥AB

∴∠ADC=∠BDC=90°

∵∠A=60°

∴∠ACD=30°

∵AC=4

∴AD=2

在Rt△ACD中

CD=

又∵∠ACB=75°

∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°

∴∠B=45°

∴ BD=CD=

在Rt△BCD中

BC=