【题目】阅读材料,并完成相应任务.
2000多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,不但因为这个定理重要、基本,还因为这个定理贴近人们的生活实际,所以很多人都探讨、研究它的证明,新的证法不断出现.
下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形:
证明:①在图1中,∵
4个直角三角形的面积+两个正方形的面积
=4× + + .
②在图2中,∵
4个直角三角形的面积+正方形的面积
=4× + .
∴4× + + =4× + .
整理得:
∴ .
任务:(1)将材料中的空缺部分补充完整;
(2)如图3,在△ABC中,∠A=60°,∠ACB=75°,CD⊥AB,AC=4,求BC的长.
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【题目】按要求完成作图:
(1)作出△ABC关于x轴对称的图形;
(2)写出A、B、C的对应点A′、B′、C′的坐标;
(3)在x轴上画出点Q,使△QAC的周长最小
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【题目】(1)如图(1),已知:在等腰直角三角形中,
,直线
经过点
,
直线
,
直线
,垂足分别为点
、
.则
、
和
之间的数量关系是: .
(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在等腰三角形中,
、
、
三点都在直线
上,且
,其中
为任意锐角或钝角.请问结论
是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图(3),、
是直线
上的两动点(
、
、
三点互不重合),点
为
平分线上的一点,且
和
均为等边三角形,连接
、
,若
,求证:
.
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【题目】已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,E是BC的中点,以下说法错误的是( )
A. OE=DC B. OA=OC C. ∠BOE=∠OBA D. ∠OBE=∠OCE
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【题目】如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度.△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,且通过两次平移(沿网格线方向作上下或左右平移)后得到△A'B'C',点C的对应点是直线上的格点C'.
(1)画出△A'B'C'.
(2)若连接AA′、BB′,则这两条线段之间的关系是 .
(3)试在直线l上画出格点P,使得由点A'、B'、C'、P四点围成的四边形的面积为9.
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【题目】实践与探究
在综合实践课上,老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象,进行相关问题的探究.如图1,△ABC≌△DEF,其中∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4.
(1)请直接写出EF= ;
(2)新星小组将这两张纸片按如图2所示的方式放置后,经过观察发现四边形ACBF是矩形,请你证明这个结论.
(3)新星小组在图2的基础上,将△DEF纸片沿AB方向平移至如图3的位置,其中点E与AB的中点重合,连接CE,BF.请你判断四边形BCEF的形状,并证明你的结论.
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【题目】甲、乙两人用手指玩游戏,规则如下:i)每次游戏时,两人同时随机地各伸出一根手指;ii)两人伸出的手指中,大拇指只胜食指,食指只胜中指,中指只胜无名指,无名指只胜小拇指,小拇指只胜大拇指,否则不分胜负,依据上述规则,当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时,
(1)求甲伸出小拇指取胜的概率;
(2)求乙取胜的概率.
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【题目】小敏的爸爸买了一张嘉峪关的门票,她和哥哥都想去,可门票只有一张,读九年级的哥哥想了一个办法,拿了8张扑克牌,将数字为2,3,5,9的四张牌给小敏,将数字为4,6,7,8的四张牌留给自己,并按如下游戏规则进行:小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽取一张,然后将抽出的两张牌数字相加,如果和为偶数,则小敏去,如果和为奇数,则哥哥去.
(1)请你用列表或树状图的方法求小敏去的概率.
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗?请说明理由.
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【题目】在中,
于点
(1)如图1,若的角平分线交
于点
,
,
,求
的度数;
(2)如图2,点分别在线段
上,将
折叠,点
落在点
处,点
落在点
处,折痕分别为
和
,且点
,点
均在直线
上,若
,试猜想
与
之间的数量关系,并加以证明;
(3)在(2)小题的条件下,将绕点
逆时针旋转一个角度
(
),记旋转中的
为
(如图3),在旋转过程中,直线
与直线
交于点
,直线
与直线
交于点
,若
,是否存在这样的
两点,使
为直角三角形?若存在,请直接写出旋转角
的度数;若不存在,请说明理由.
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