Question

14．某运动器械厂根据市场需求，计算生产A、B两种型号的按摩椅，某部分信息如下：A、B两种型号的按摩椅共生产40台，该厂所筹生产按摩椅的资金不少于90万元，但不超过91万元，且所筹资金全部用于这两种按摩椅，现已知A、B两种按摩椅的生产成本和售价如表：

型号	成本（万元/台）	售价（万元/台）
A	2	2.4
B	2.5	3

根据以上信息，解答下列问题：
（1）该公司对此两种按摩椅有几种生产方案？那种生产方案获得最大利润？
（2）据市场调查，每台A型按摩椅的售价将会提高a万元（a＞0），每台B型按摩椅售价不会改变，该公司应如何生产才可以获得最大利润？

Answer 1

分析 （1）在题目中，每种型号的成本及总成本的上限和下限都已知，所以设生产A型按摩椅x台，则B型按摩椅（40-x）台的情况下，可列不等式组得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2.5（40-x）≥90}\\{2x+2.5（40-x）≤91}\end{array}\right.$，解不等式组，取其整数值即可求解；在知道生产方案以及每种利润情况下可列函数解析式w=（2.4-2）x+（3-2.5）×（40-x）=20-0.1x，利用函数的自变量取值范围和其单调性即可求得函数的最值；
（2）结合（1）得，在此w′=（0.4+a）x+0.5（40-x）=（a-0.1）x+20，必须把（a-0.1）正负性考虑清楚，即a＞0.1，a=0.1，a＜0.1三种情况，最终才能得出结论，即怎样安排，完全取决于a的大小．

解答 解：（1）设生产A种型号的按摩椅x台，则B型按摩椅（40-x）台，生产利润为w万元，
有题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2.5（40-x）≥90}\\{2x+2.5（40-x）≤91}\end{array}\right.$，
解得：18≤x≤20，
∵x取非负整数，
∴x为18，19，20．
∴有三种生产方案
①A型按摩椅18台，B型按摩椅22台；
②A型按摩椅19台，B型按摩椅21台；
③A型按摩椅20台，B型按摩椅20台；
w=（2.4-2）x+（3-2.5）×（40-x）=20-0.1x，
∵-0.1＜0，
∴当x=18时，w_最大=20-0.1×18=18.2，
∴该公司对此两种按摩椅有3种生产方案，当生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台；获得最大利润18.2万元．
（2）当每台A型按摩椅的售价将会提高a万元（a＞0），每台B型按摩椅售价不会改变时，此时的利润为：
w′=（0.4+a）x+0.5（40-x）=（a-0.1）x+20，
当a-0.1＞0时，即a＞0.1，
∴当x=20时，w′_最大=20a+18，
即当生产A型按摩椅20台，B型按摩椅20台，获得最大利润．
当a-0.1=0时，即a=0.1，
∴当x=20时，w′=20，
即三种生产方案的获利一样大．
当a-0.1＜0时，即a＜0.1，
∴当x=18时，w′_最大=18a+18.2，
即当生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台，获得最大利润．
答：当a＞0.1时，当生产A型按摩椅20台，B型按摩椅20台，获得最大利润；
当a=0.1时，3种方案获利一样；
当a＜0.1时，生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台，获得最大利润．

点评 本题考查了一次函数的应用，考查学生解决实际问题的能力，解决本题的关键是用函数知识去解题，以及会讨论函数的最大值．要结合自变量的范围求函数的最大值，并要把（a-0.1）正负性考虑清楚，分情况讨论问题．