Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O与AC交于点D，与BC交于点E，连接DE，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DE=CE；
（2）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙O的直径为18，BC=12，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC得到∠B=∠C，再根据圆内接四边形的性质得∠CDE=∠B，则∠CDE=∠C，于是根据等腰三角形的判定即可得到DE=CE；
（2）如图，连接AE、OE，根据圆周角定理，由AB为直径得到∠AEB=90°，再根据等腰三角形的性质得BE=CE，于是可得到OE是△ABC的中位线，所以OE∥AC，由于EF⊥AC，则EF⊥OE，则根据切线的判定定理可判断EF与⊙O相切；
（3）证明Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比计算出CF=2，然后利用勾股定理计算EF的长．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B，
∴∠CDE=∠C，
∴DE=CE；
（2）解：EF与⊙O相切．理由如下：
如图，连接AE、OE，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴BE=CE，即点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE，
∴EF与⊙O相切；
（3）解：∵AB=AC=18，BC=12，
∴∠B=∠C，BE=CE=6，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF．
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CF}$，即$\frac{18}{6}=\frac{6}{CF}$，解得CF=2，
在Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{E^2}-E{F^2}}=4\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．