Question

13．如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为12，则k=4．

Answer 1

分析 过A作AD⊥OB于D，过E作EF⊥OB于F，如图，设A（x，$\frac{k}{x}$），B（a，0），根据平行四边形的性质得AE=BE，则可判断EF为△BAD的中位线，于是得到EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{k}{2x}$，DF=$\frac{1}{2}$（a-x），OF=OD+DF=$\frac{a+x}{2}$，则可表示出E（$\frac{a+x}{2}$，$\frac{k}{2x}$），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到$\frac{a+x}{2}•\frac{k}{2x}=k$，解得a=3x，然后利用平行四边形的面积公式得到关于k的方程，再解方程即可．

解答 解：过A作AD⊥OB于D，过E作EF⊥OB于F，如图，
设A（x，$\frac{k}{x}$），B（a，0），
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴AE=BE，
∴EF为△BAD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{k}{2x}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$（a-x），
OF=OD+DF=$\frac{a+x}{2}$，
∴E（$\frac{a+x}{2}$，$\frac{k}{2x}$），
∵E点在双曲线上，
∴$\frac{a+x}{2}•\frac{k}{2x}=k$，
∴a=3x，
∵平行四边形的面积是12，
∴AD•OB=12，
即$\frac{k}{x}$•a=12，
∴$\frac{k}{x}$•3x=12，
∴k=4．
故答案为4．

点评 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了平行四边形的性质．