Question

1．如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，始终保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，梯形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为正方形，得到一对直角相等，再由AM垂直于MN，得到∠AMN为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）由（1）得出的相似三角形，可得对应边成比例，根据BM=x与AB=8，表示出CN，由CN为上底，AB为下底，BC为高，利用梯形的面积公式列出y与x的函数关系式，利用二次函数的性质确定出梯形ABCN面积最大时M的位置，并求出最大面积即可；
（3）由一对直角相等，要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有$\frac{AB}{AM}$=$\frac{BM}{MN}$，表示出BM，由（1）的结论表示出CM，可得出BM=CM，即此时M为BC的中点．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，BM=x，
∴$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$，即$\frac{8}{8-x}$=$\frac{x}{CN}$，
整理得：CN=$\frac{-{x}^{2}+8x}{8}$，
∴y=S_梯形ABCN=$\frac{1}{2}$×（$\frac{-{x}^{2}+8x}{8}$+8）×8=-$\frac{1}{2}$x²+4x+32=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+40（0＜x＜8），
则当x=4，即M点运动到BC的中点时，梯形ABCN的面积最大，最大值为40；
（3）∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有$\frac{AB}{AM}$=$\frac{BM}{MN}$，即BM=$\frac{AB•MN}{AM}$，
由（1）知$\frac{AM}{MN}$=$\frac{AB}{MC}$，即MC=$\frac{AB•MN}{AM}$，
∴BM=MC，
则当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△MCN．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，梯形的面积求法，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．