Question

11．如图，正方形ABCD中，点M是边BC上的中点，联结AM，AC，则sin∠MAC=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 作ME⊥AC于点E，得出△MEC是等腰直角三角形，设正方形的边长为a，利用勾股定理求得AM，利用特殊角的三角函数求得ME，进一步得出sin∠MAC即可．

解答 解：如图，

作ME⊥AC于点E，
∵四边形ABCD是正方形，设边长为a，
∴AB=BC=a，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵点M是边BC上的中点，
∴BM=MC=$\frac{1}{2}$a，
∴在直角△ABM中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
在△MEC中，ME=CM•sin∠ACB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴sin∠MAC=$\frac{ME}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 此题考查正方形的性质，勾股定理的运用，特殊角的三角函数，三角函数的意义，构造直角三角形是解决问题的关键．