Question

16．（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在边AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=40°，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE=110°；
（3）在△ABC中，∠ACB=n°（0＜n＜180°），点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数（直接写出答案，用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）由AD=AC，BC=BE，根据等边对等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，再利用三角形内角和定理得出∠ACD=（180°-∠A）÷2，∠BCE=（180°-∠B）÷2，而∠A+∠B=90°，那么求出∠ACD+∠BCE=135°，则∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB=90°；
（2）由AD=AC，BC=BE，根据等边对等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，再利用三角形内角和定理得出∠ACD=（180°-∠CAD）÷2，∠BCE=（180°-∠CBE）÷2，而∠CAD+∠CBE=220°，那么求出∠ACD+∠BCE=70°，则∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=110°；
（3）分四种情况进行讨论：①点D、E在边AB上，同（1）可求出∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$n°；②点D在BA延长线上，点E在AB延长线上，同（2）可求出∠DCE=90°+$\frac{1}{2}$n°；③点D在边AB上，点E在AB延长线上，求出∠DCE=$\frac{1}{2}$n°；④点D在BA延长线上，点E在边AB上，求出∠DCE=$\frac{1}{2}$n°．

解答 解：（1）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠A）÷2，∠BCE=（180°-∠B）÷2，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACD+∠BCE=180°-（∠A+∠B）÷2=180°-45°=135°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB=135°-90°=45°；

（2）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠CAD）÷2，∠BCE=（180°-∠CBE）÷2，
∵∠CAD+∠CBE=180°-∠CAB+180°-∠ABC=360°-（180°-∠ACB）=180°+40°=220°，
∴∠ACD+∠BCE=（180°-∠CAD）÷2+（180°-∠CBE）÷2=180°-（∠CAD+∠CBE）÷2=180°-220°÷2=70°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=70°+40°=110°．
故答案为110°；

（3）分四种情况进行讨论：
①点D、E在边AB上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠A）÷2，∠BCE=（180°-∠B）÷2，
∵∠A+∠B=180°-n°，
∴∠ACD+∠BCE=180°-（∠A+∠B）÷2=180°-90°+$\frac{1}{2}$n°=90°+$\frac{1}{2}$n°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB=90°+$\frac{1}{2}$n°-n°=90°-$\frac{1}{2}$n°；
②点D在BA延长线上，点E在AB延长线上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠CAD）÷2，∠BCE=（180°-∠CBE）÷2，
∵∠CAD+∠CBE=180°-∠CAB+180°-∠ABC=360°-（180°-∠ACB）=180°+n°，
∴∠ACD+∠BCE=（180°-∠CAD）÷2+（180°-∠CBE）÷2=180°-（∠CAD+∠CBE）÷2=180°-90°-$\frac{1}{2}$n°=90°-$\frac{1}{2}$n°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$n°+n°=90°+$\frac{1}{2}$n°；
③如图1，点D在边AB上，点E在AB延长线上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠CAD）÷2，∠BCE=（180°-∠CBE）÷2，
∵∠CBE=∠CAD+∠ACB=∠CAD+n°，
∴∠CAD-∠CBE=-n°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠ACB-∠ACD+∠BCE=n°-（180°-∠CAD）÷2+（180°-∠CBE）÷2=n°+（∠CAD-∠CBE）÷2=n°-$\frac{1}{2}$n°=$\frac{1}{2}$n°；
④如图2，点D在BA延长线上，点E在边AB上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠CAD）÷2，∠BCE=（180°-∠CBE）÷2，
∵∠CAD=∠CBE+∠ACB=∠CBE+n°，
∴∠CBE-∠CAD=-n°，
∴∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠ACD+∠ACB-∠BCE=n°+（180°-∠CAD）÷2-（180°-∠CBE）÷2=n°+（∠CBE-∠CAD）÷2=n°-$\frac{1}{2}$n°=$\frac{1}{2}$n°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，运用数形结合、分类讨论是解题的关键．