Question

7．如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的边ND上的中线．
（1）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若PC=5，CD=8，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ACB=90°，则CP是Rt△CDN的边ND上的中线，所以PC=PN=PD，根据等腰三角形的性质得∠1=∠2，由对顶角相等得∠2=∠3，则∠1=∠3，接着证明∠A=∠4，∠A+∠3=90°，于是得到∠1+∠4=90°，所以根据切线的判定定理可得CP是⊙O的切线；
（2）先得到DN=2PC=10，再利用勾股DK计算出CN=6，由AC=CD=8得到AN=AC-CN=2，接着证明Rt△NMA∽Rt△NCD，然后利用相似比可计算出MN的长．

解答 解：（1）CP与⊙O相切．理由如下：
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CP是Rt△CDN的边ND上的中线，
∴PC=PN=PD，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵DM⊥AB，
∴∠A+∠3=90°，
而OA=OC，
∴∠A=∠4，
∴∠1+∠4=90°，即∠OCP=90°，
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切线；
（2）∵PC=5，
∴DN=2PC=10，
在Rt△DCN中，∵DC=8，DN=10，
∴CN=$\sqrt{D{N}^{2}-D{C}^{2}}$=6，
∵AC=CD=8，
∴AN=AC-CN=8-6=2，
∵∠2=∠3，
∴Rt△NMA∽Rt△NCD，
∴$\frac{MN}{CN}$=$\frac{AN}{DN}$，即$\frac{MN}{6}$=$\frac{2}{10}$，
∴MN=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．