Question

1．在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB．当△AOC与△DEB相似时，求这个函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数对称性得出对称轴即可；
（2）首先求出C，D点坐标，进而得出CO的长，利用当△AOC与△DEB相似时，根据①假设∠OCA=∠EBD，②假设∠OCA=∠EDB，分别求出即可．

解答 解：（1）∵二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=2；
（2）如图，


设二次函数的表达式为：y=a（x-1）（x-3）（a≠0），
当x=0时，y=3a，当x=2时，y=-a，
∴点C坐标为：（0，3a），顶点D坐标为：（2，-a），
∴OC=|3a|，
又∵A（1，0），E（2，0），
∴AO=1，EB=1，DE=|-a|=|a|，
当△AOC与△DEB相似时，
①假设∠OCA=∠EBD，
可得$\frac{AO}{DE}=\frac{OC}{EB}$，
即$\frac{1}{|a|}=\frac{|3a|}{1}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
②假设∠OCA=∠EDB，可得$\frac{AO}{BE}=\frac{OC}{ED}$，
∴$\frac{1}{1}=\frac{|3a|}{|a|}$，此方程无解，
综上所述，所得二次函数的表达式为：
y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{4\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$ 或y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论思想的应用是解题关键．