Question

9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交C（5，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；
（3）若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线解析式，把A（-1，0），B（3，0），C（5，6）代入解析式，即可解答；
（2）分两种情况进行讨论，当△CAE∽△DAE时，$\frac{AE}{AE}=\frac{AC}{AD}=1$，不合题意，舍去；当△CAE∽△EAD时，$\frac{AC}{AE}=\frac{AE}{AD}$，AE=$2\sqrt{6}$，当点E在点A的右边时，点E为（$2\sqrt{6}$-1，0）；当点E在点A的左边时，点E为（-$2\sqrt{6}$-1，0）；所以E（$2\sqrt{6}$-1，0）或（-$2\sqrt{6}$-1，0）；
（3）分两种情况进行讨论，当FC⊥AC时，$\frac{1}{2}$（FC+AD）•AC=16，解得：FC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则${F}_{1}（\frac{17}{3}，\frac{16}{3}）$；当FD⊥AD时，$\frac{1}{2}$（FD+AC）•AD=16，解得：FD=$2\sqrt{2}$，则F₂（3，0）．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把A（-1，0），B（3，0），C（5，6）代入解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{25a+5b+c=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}$．
（2）如图1，过点D作ND⊥x轴于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，

顶点坐标为D（1，-2）．
∵A（-1，0），B（3，0），C（5，6），D（1，-2）．
∴AN=2，ND=2，CM=6，AM=1+5=6，
∴AN=ND，CM=AM，AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}=6\sqrt{2}$，
∴∠NAD=∠ADN=45°，∠CAM=∠ACM=45°，
∴∠CAE=∠DAE=45°，
当△CAE∽△DAE时，$\frac{AE}{AE}=\frac{AC}{AD}=1$，不合题意，舍去；
当△CAE∽△EAD时，$\frac{AC}{AE}=\frac{AE}{AD}$，
即$A{E}^{2}=AC•AD=6\sqrt{2}×2\sqrt{2}=24$，
AE=$2\sqrt{6}$，
当点E在点A的右边时，点E为（$2\sqrt{6}$-1，0）；
当点E在点A的左边时，点E为（-$2\sqrt{6}$-1，0）；
∴E（$2\sqrt{6}$-1，0）或（-$2\sqrt{6}$-1，0）．
（3）如图2，

当FC⊥AC时，$\frac{1}{2}$（FC+AD）•AC=16，
即$\frac{1}{2}×（FC+2\sqrt{2}）×6\sqrt{2}=16$，
解得：FC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则${F}_{1}（\frac{17}{3}，\frac{16}{3}）$；
当FD⊥AD时，$\frac{1}{2}$（FD+AC）•AD=16，
即$\frac{1}{2}×（FD+6\sqrt{2}）×2\sqrt{2}=16$，
解得：FD=$2\sqrt{2}$，
∴AF=$\sqrt{A{D}^{2}+F{D}^{2}}=\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=4$，
∴OF=AF-AO=4-1=3
则F₂（3，0）．

点评 本题考查了求抛物线解析式，相似三角形的性质，直角梯形，解决本题的关键是对于△AEC和△AED相似，点F和点A、C、D构成直角梯形，进行分类讨论．