Question

12．如图，在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=6，将该矩形沿对角线BD翻折，C的对应点为G，使△DBG与△DBC在同一平面内，BG交AD于点E，在DA延长线上取点F，使AE=AF，连接BF．
（1）△BEF的形状为等腰三角形；（直接写出答案）
（2）求线段EG的长；
（3）将△BAF沿射线BD方向以每秒2个单位的速度平移，当点B到达点D时停止平移．设平移的时间为t秒，在平移过程中，△BAF与△BDG重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式并直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据SAS得出△FAB≌△EAB后，得出BF=BE，得出△BEF是等腰三角形；
（2）根据全等三角形判定出△DGE≌△EAB，再根据勾股定理得出EG的长度即可；
（3）根据△BAF沿射线BD方向的平移分情况进行求解，同时根据三角形的面积公式进行分析解答．

解答 解：（1）在△FAB和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAB=∠FAB=90°}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△EAB（SAS），
∴BE=BF，
∴△BEF是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2）∵矩形沿对角线BD翻折，
∴△BDC≌△BDG，
∴DG=DC=AB，
在△EBA和△EDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠GED}\\{∠EAB=∠EGD=90°}\\{DG=BA}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△EAB（AAS），
∴BE=DE，AE=EG，
在Rt△GED中，
EG²+DG²=DE²，即$E{G}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}=（6-EG）^{2}$，
解得：EG=2；
（3）①当$0＜t≤\sqrt{3}$时，△BAF沿射线BD方向的平移图如图1，

∴HQ=HP=BPtan30°=$\frac{2\sqrt{3}t}{3}$，
∴$S={S}_{△HQP}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}H{Q}^{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$，
②当$\sqrt{3}＜t≤\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，△BAF沿射线BD方向的平移图如图2，

∴${S}_{△BAP}=\frac{1}{2}B{P}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}B{P}^{2}$，
${S}_{△QPD}=\frac{\sqrt{3}}{4}P{D}^{2}$，
${S}_{△BGD}=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，
∴$S={S}_{△BGD}-{S}_{△BHP}-{S}_{△QPD}=-\frac{5\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+12t-6\sqrt{3}$，
③当$\frac{3\sqrt{3}}{2}＜t＜2\sqrt{3}$时，△BAF沿射线BD方向的平移图如图3，
∴${S}_{△HPQ}=\frac{1}{2}P{D}^{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}P{D}^{2}$，
∴$S={S}_{△HPQ}-{S}_{△QPD}=\sqrt{3}{t}^{2}-12t+12\sqrt{3}$，
综上所述：S与t的函数关系式为：$\left\{\begin{array}{l}{S=\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}（0＜t≤\sqrt{3}）}\\{S=-\frac{5\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+12t-6\sqrt{3}（\sqrt{3}＜t≤\frac{3\sqrt{3}}{2}）}\\{S=\sqrt{3}{t}^{2}-12t+12\sqrt{3}（\frac{3\sqrt{3}}{2}＜t＜2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．

点评 此题考查几何变换问题，关键是全等三角形的判定和性质，同时注意平移的性质，综合性强，是一道典型题目．