Question

1．在平面直角坐标系中，以BC为直径的⊙M交x轴正半轴于点A、B，交y轴正半轴于点E、F，作CD⊥y轴于D连接AM并延长交⊙M于点P，连接PE、AF．
（1）求证：∠FAO=∠EAM；
（2）若抛物线y=-x²+bx+c经过点B、C、E，且以C为顶点，当点B坐标为（2，0）时，四边形OECB面积是$\frac{11}{4}$，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据四边形APEF是⊙M的内接四边形的性质可知∠APE=∠AFO，利用EAM=90°-∠APE，∠FAO=90°-∠AFO得到∠FAO=∠EAM；
（2）利用顶点公式可知C点的坐标（$\frac{b}{2}$，$\frac{{b}^{2}+4c}{4}$），图象过E点，得E点的坐标为（0，c），连接AC，OC，则AC⊥OB，CD⊥y轴，AO⊥OD，可证明四边形OACD为矩形，得到DC=OA，S_{四边形OECB}=S_△OCE+S_△OCB=$\frac{1}{2}$OE•CD+$\frac{1}{2}$OB•AC=$\frac{1}{2}$（c•$\frac{b}{2}$+2×$\frac{{b}^{2}+4c}{4}$）=$\frac{{b}^{2}+4c+bc}{4}$=$\frac{11}{4}$，所以b²+4c+bc=11，把点B（2，0）代入可得-4+2b+c=0，联立方程组解得b=1，c=2，所以过B、C、E三点的二次函数的解析式为y=-x²+x+2．

解答 （1）证明：∵四边形APEF是圆M的内接四边形，
∴∠P=∠AFO，
∵AP是⊙M的直径，
∴∠AEP=∠AOF=90°，
∴∠FAO+∠AFO=∠EAM+∠P=90°，
∴∠FAO=∠EAM；
（2）解：连接AC、OC，
由抛物线y=-x²+bx+c可知顶点C（$\frac{b}{2}$，$\frac{{b}^{2}+4c}{4}$），E（0，c），
∵BC是⊙M的直径，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥OB，
∴AC=$\frac{{b}^{2}+4c}{4}$，
∵CD⊥y轴，AO⊥OD，
∴四边形OACD为矩形
∴DC=$\frac{b}{2}$，
∴S_{四边形OECB}=S_△OCE+S_△OCB=$\frac{1}{2}$OE•CD+$\frac{1}{2}$OB•AC=$\frac{1}{2}$（c•$\frac{b}{2}$+2×$\frac{{b}^{2}+4c}{4}$）=$\frac{{b}^{2}+4c+bc}{4}$=$\frac{11}{4}$，
∴b²+4c+bc=11，
∵抛物线y=-x²+bx+c经过点B（2，0），
∴-4+2b+c=0，
∴解$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}+4c+bc=11}\\{-4+2b+c=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{c=14}\end{array}\right.$（不合题意，舍去），
∴过点B、C、E，且以C为顶点的抛物线为y═-x²+x+2．

点评 本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点圆内接四边形的性质，二次函数顶点坐标求法以及函数的交点的意义等，要熟练掌握才能灵活运用．